1. Найдите допустимые значения переменной в выражении \(\frac{5x+15}{x+3}+\frac{3x-1}{x-2}\). 2. Сократите дробь \(\frac{9-x^2}{x^2+6x+9}\). 3. Упростите выражение \(\frac{a-3}{a^2-a}-\frac{1}{a-1}-\frac{4}{a}\). 4. Выделите целую и дробную части в выражении \(\frac{3x^2-12x+5}{x-4}\). 5. Постройте график функции \(y=\frac{x^2-4x+4}{2-x}+\frac{3x^2-4x}{x}\). 6. Найдите значения \(a\) и \(b\), для которых при всех допустимых значениях \(x\) выполнено равенство \(\frac{ax^2-8x+b}{x-3}=3x+1\).

1. Знаменатели не должны быть равны нулю: \(x+3\ne0\) и \(x-2\ne0\). Поэтому \(x\ne-3\) и \(x\ne2\).

2. Разложим на множители: \(9-x^2=(3-x)(3+x)\), а \(x^2+6x+9=(x+3)^2\). Сокращаем общий множитель, учитывая исходное ограничение \(x\ne-3\):

   \[\frac{9-x^2}{x^2+6x+9}=\frac{(3-x)(x+3)}{(x+3)^2}=\frac{3-x}{x+3},\qquad x\ne-3.\]

3. Область допустимых значений: \(a\ne0\), \(a\ne1\). Приведём к общему знаменателю:

   \[\frac{a-3}{a(a-1)}-\frac{a}{a(a-1)}-\frac{4(a-1)}{a(a-1)}=\frac{1-4a}{a(a-1)}.\]

4. Выделим квадратный множитель и разделим:

   \[3x^2-12x+5=3x(x-4)+5,\qquad \frac{3x^2-12x+5}{x-4}=3x+\frac{5}{x-4},\quad x\ne4.\]

5. Для \(x\ne2\) первая дробь равна \(-(x-2)\); для \(x\ne0\) вторая равна \(3x-4\). Значит, \(y=2x-2\), но исходная функция не определена при \(x=0\) и \(x=2\). На прямой \(y=2x-2\) это выколотые точки \((0;-2)\) и \((2;2)\).

6. Умножим равенство на \(x-3\), где \(x\ne3\):

   \[ax^2-8x+b=(x-3)(3x+1)=3x^2-8x-3.\]

   Сравнивая коэффициенты, получаем \(a=3\) и \(b=-3\).

Ответ: 1) \(x\ne-3,2\); 2) \(\frac{3-x}{x+3}\), \(x\ne-3\); 3) \(\frac{1-4a}{a(a-1)}\), \(a\ne0,1\); 4) \(3x+\frac{5}{x-4}\); 5) прямая \(y=2x-2\) с выколотыми точками \((0;-2)\) и \((2;2)\); 6) \(a=3, b=-3\).