1. Найдите f'(x₀), если a) f(x) = (3x-5)³ + 1/(3-x)², x₀ = 2;

Решение:

1. Находим производную функции f(x):

   Функция состоит из двух частей: \(f(x) = (3x-5)^3 + \frac{1}{(3-x)^2}\).

   Найдем производную первой части, используя правило дифференцирования сложной функции \( (u^n)' = n u^{n-1} u' \), где \( u = 3x - 5 \) и \( n = 3 \).

   \( ( (3x-5)^3 )' = 3(3x-5)^{3-1} × (3x-5)' = 3(3x-5)^2 × 3 = 9(3x-5)^2 \).

   Найдем производную второй части. Представим \( \frac{1}{(3-x)^2} \) как \( (3-x)^{-2} \) и используем правило дифференцирования сложной функции:

   \( ( (3-x)^{-2} )' = -2(3-x)^{-2-1} × (3-x)' = -2(3-x)^{-3} × (-1) = 2(3-x)^{-3} = \frac{2}{(3-x)^3} \).

   Теперь сложим производные обеих частей:

   \( f'(x) = 9(3x-5)^2 + \frac{2}{(3-x)^3} \).

2. Подставляем значение x₀ = 2 в производную:

   f'(2) = 9(3 × 2 - 5)² + \(\frac{2}{(3-2)³}\)

   f'(2) = 9(6 - 5)² + \(\frac{2}{1³}\)

   f'(2) = 9(1)² + \(\frac{2}{1}\)

   f'(2) = 9 × 1 + 2

   f'(2) = 9 + 2

   f'(2) = 11

Ответ: 11