1. Найдите f'(x), если r) f(x) = x² cos(x/2 - π/4), x₀ = π/2. 2. Решите уравнение

Задание 1: Найдем производную функции.

Дана функция:

\[ f(x) = x^2 \cos \left( \frac{x}{2} - \frac{\pi}{4} \right) \]

Нужно найти производную $$f'(x)$$ в точке $$x_0 = \frac{\pi}{2}$$.

1. Находим производную функции $$f(x)$$: Используем правило произведения и правило дифференцирования сложной функции.
   

   \[ f'(x) = \frac{d}{dx} \left( x^2 \cos \left( \frac{x}{2} - \frac{\pi}{4} \right) \right) \]

   
   

   Производная $$x^2$$ равна $$2x$$.

   
   

   Производная $$\cos \left( \frac{x}{2} - \frac{\pi}{4} \right)$$ равна $$-\sin \left( \frac{x}{2} - \frac{\pi}{4} \right) \times \frac{d}{dx} \left( \frac{x}{2} - \frac{\pi}{4} \right) = -\sin \left( \frac{x}{2} - \frac{\pi}{4} \right) \times \frac{1}{2}$$.

   
   

   Применяем правило произведения $$(uv)' = u'v + uv'$$:

   
   

   \[ f'(x) = 2x \cos \left( \frac{x}{2} - \frac{\pi}{4} \right) + x^2 \left( -\sin \left( \frac{x}{2} - \frac{\pi}{4} \right) \times \frac{1}{2} \right) \]

   
   

   \[ f'(x) = 2x \cos \left( \frac{x}{2} - \frac{\pi}{4} \right) - \frac{x^2}{2} \sin \left( \frac{x}{2} - \frac{\pi}{4} \right) \]



2. Подставляем значение $$x_0 = \frac{\pi}{2}$$:



\[ f'\left( \frac{\pi}{2} \right) = 2\left( \frac{\pi}{2} \right) \cos \left( \frac{\pi/2}{2} - \frac{\pi}{4} \right) - \frac{(\pi/2)^2}{2} \sin \left( \frac{\pi/2}{2} - \frac{\pi}{4} \right) \]




\[ f'\left( \frac{\pi}{2} \right) = \pi \cos \left( \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4} \right) - \frac{\pi^2/4}{2} \sin \left( \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4} \right) \]




\[ f'\left( \frac{\pi}{2} \right) = \pi \cos(0) - \frac{\pi^2}{8} \sin(0) \]




Так как $$\cos(0) = 1$$ и $$\sin(0) = 0$$, получаем:




\[ f'\left( \frac{\pi}{2} \right) = \pi \times 1 - \frac{\pi^2}{8} \times 0 \]




\[ f'\left( \frac{\pi}{2} \right) = \pi \]

Ответ: $$\pi$$

Задание 2: Решите уравнение

Текст уравнения отсутствует в изображении. Пожалуйста, предоставьте полное условие задачи.