Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
1. Найдите координаты и длину вектора а, если а = m/2 + n m{-12; 8}, n{-2; 2}. 2. Напишите уравнение окружности с центром в точке А(-2; 3), проходящей через точку В(-2; 0) 3. В треугольнике ABC ∠A = 45°, ∠B = 30°, ВС = 2√6. Найдите АС 4. В окружность вписан квадрат и правильный треугольник. Периметр квадрата равен 40 см. Найти периметр треугольника. 5. Вычислите длину дуги окружности с радиусом 3 см, если ее градусная мера равна 135°. 6. Начертите произвольную трапецию АВСD. Постройте образ этой трапеции при: а) симметрии относительно точки В; б) симметрии относительно прямой CD; в) параллельном переносе на вектор ВС;
Ответ:
Вариант 2
- \( \vec{a} = \frac{1}{2}\vec{m} + \vec{n} = \frac{1}{2}\{-12; 8\} + \{-2; 2\} = \{-6; 4\} + \{-2; 2\} = \{-6+(-2); 4+2\} = \{-8; 6\} \). Длина вектора \( |\vec{a}| = \sqrt{(-8)^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10 \).
- Радиус окружности \( R \) равен расстоянию между центром \( A \) и точкой \( B \). \( R = AB = \sqrt{(-2 - (-2))^2 + (0 - 3)^2} = \sqrt{0^2 + (-3)^2} = \sqrt{9} = 3 \). Уравнение окружности: \( (x - (-2))^2 + (y - 3)^2 = 3^2 \) или \( (x+2)^2 + (y-3)^2 = 9 \).
- По теореме синусов: \( \frac{AC}{\sin(\angle B)} = \frac{BC}{\sin(\angle A)} \). \( AC = \frac{BC \cdot \sin(\angle B)}{\sin(\angle A)} = \frac{2\sqrt{6} \cdot \sin(30^{\circ})}{\sin(45^{\circ})} = \frac{2\sqrt{6} \cdot \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{\sqrt{6}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \sqrt{6} \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{3} 2 = 2\sqrt{3} \).
- Пусть сторона правильного треугольника равна \( a \), а сторона квадрата равна \( b \). Периметр квадрата \( P_{кв} = 4b = 40 \) см, значит \( b = 10 \) см. Сторона квадрата \( b = a \) (вписаны в одну окружность), следовательно \( a = 10 \) см. Периметр треугольника \( P_{тр} = 3a = 3 10 = 30 \) см.
- Длина дуги \( L \) вычисляется по формуле \( L = \frac{\pi R \alpha}{180^{\circ}} \), где \( R = 3 \) см, \( \alpha = 135^{\circ} \). \( L = \frac{\pi 3 135^{\circ}}{180^{\circ}} = \frac{405\pi}{180} = \frac{9\pi}{4} \) см.
- 6. Построение образа трапеции зависит от конкретной трапеции.
Ответ: 1. \( \vec{a} = \{-8; 6\}, |\vec{a}| = 10 \). 2. \( (x+2)^2 + (y-3)^2 = 9 \). 3. \( AC = 2\sqrt{3} \). 4. \( P_{тр} = 30 \) см. 5. \( L = \frac{9\pi}{4} \) см. 6. Построение осуществляется согласно правилам преобразований.
