1. Найдите координаты середины отрезка AB, если A(2; 3), B(6; −3); найдите длину отрезка BK, если B(−3; 8), K(2; −4); найдите длину вектора CB(−6; −3); найдите длину вектора AB, если A(1; 6), B(−4; 7); найдите уравнение окружности с центром в точке (4; 5), радиус которой 5 см; найдите уравнение окружности с центром в начале координат, если она проходит через точку (2; 3).

В первой части по изображению читается B(6; −3); если вторая координата точки B другая, пришлите более чёткий фрагмент.

1. Координаты середины отрезка — средние арифметические координат концов: \(x=\frac{2+6}{2}=4\), \(y=\frac{3+(-3)}{2}=0\).

   Середина: (4; 0).

2. Длина отрезка: \(BK=\sqrt{(2-(-3))^2+(-4-8)^2}=\sqrt{25+144}=13\).

3. Длина вектора с координатами (−6; −3): \(|\overrightarrow{CB}|=\sqrt{(-6)^2+(-3)^2}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}\).

4. \(|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(-4-1)^2+(7-6)^2}=\sqrt{25+1}=\sqrt{26}\).

5. Уравнение окружности с центром \((a;b)\) и радиусом \(r\): \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\). Поэтому \((x-4)^2+(y-5)^2=25\).

6. Радиус окружности равен расстоянию от начала координат до точки (2; 3): \(r^2=2^2+3^2=13\). Уравнение: \(x^2+y^2=13\).

Ответ: (4; 0); 13; \(3\sqrt{5}\); \(\sqrt{26}\); \((x-4)^2+(y-5)^2=25\); \(x^2+y^2=13\).