1. Найдите координаты центра симметрии точек А(-4;3) и В(2;-7). 2. Найдите координаты точки С, симметричной точке В(-3;1) относительно точки А(2;-5). 3. Постройте точки, симметричные точкам М(3;-4), К(4;0) и P(0;-5) относительно: 1) оси х; 2) оси у; 3) прямой, содержащей биссектрисы I и III координатных углов. Запишите координаты полученных точек. 4. Даны точки К(-4; 7) и Р(8; -1). При параллельном переносе образом середины отрезка КР является точка М(-3;-1). Найдите координаты точек, являющихся образами точек К и Р.

Решение:

• 1. Центр симметрии
• Для нахождения центра симметрии двух точек, нужно найти среднее арифметическое их координат.
• Центр симметрии (x, y) = ( (x₁ + x₂) / 2, (y₁ + y₂) / 2 )
• Для точек А(-4;3) и В(2;-7):
• x = (-4 + 2) / 2 = -2 / 2 = -1
• y = (3 + (-7)) / 2 = -4 / 2 = -2
• 2. Симметричная точка
• Точка А(2;-5) является центром симметрии для точек В(-3;1) и С(x;y).
• Используем ту же формулу, но теперь А - это центр симметрии:
• 2 = (-3 + x) / 2 => 4 = -3 + x => x = 7
• -5 = (1 + y) / 2 => -10 = 1 + y => y = -11
• Таким образом, точка С имеет координаты (7; -11).
• 3. Симметричные точки
• Относительно оси х: координаты точки изменяют знак по оси y.
• M(3;-4) -> M'(3;4)
• K(4;0) -> K'(4;0)
• P(0;-5) -> P'(0;5)
• Относительно оси у: координаты точки изменяют знак по оси x.
• M(3;-4) -> M''(-3;-4)
• K(4;0) -> K''(-4;0)
• P(0;-5) -> P''(-0;-5) = (0;-5)
• Относительно прямой y=x (биссектриса I и III координатных углов): координаты точки меняются местами.
• M(3;-4) -> M'''(-4;3)
• K(4;0) -> K'''(0;4)
• P(0;-5) -> P'''(-5;0)
• 4. Параллельный перенос
• Середина отрезка KP имеет координаты:
• x_mid = (-4 + 8) / 2 = 4 / 2 = 2
• y_mid = (7 + (-1)) / 2 = 6 / 2 = 3
• Итак, середина отрезка KP - это точка (2;3).
• При параллельном переносе середина отрезка KP переходит в точку М(-3;-1). Это означает, что вектор переноса равен:
• Vector = M - midpoint_KP = (-3 - 2, -1 - 3) = (-5; -4)
• Теперь найдем образы точек K и P, применив этот вектор переноса:
• Образ точки K: K' = K + Vector = (-4 + (-5), 7 + (-4)) = (-9; 3)
• Образ точки P: P' = P + Vector = (8 + (-5), -1 + (-4)) = (3; -5)

Финальные ответы:

• 1. Координаты центра симметрии: (-1; -2)
• 2. Координаты точки С: (7; -11)
• 3. Симметричные точки:
• Относительно оси х: M'(3;4), K'(4;0), P'(0;5)
• Относительно оси у: M''(-3;-4), K''(-4;0), P''(0;-5)
• Относительно прямой y=x: M'''(-4;3), K'''(0;4), P'''(-5;0)
• 4. Образы точек К и Р: K'(-9; 3), P'(3; -5)