1. Найдите координаты вершины параболы. a) y = x² - x -2 б) y = 3x²-5x+2 в) y = -0,5 x² -3x +3,5 г) y = - x²+4x. 2. Постройте график квадратичной функции у = х²+2x - 5

Решение:

1. Нахождение координат вершины параболы

Вершина параболы \( y = ax^2 + bx + c \) находится по формулам: \( x_в = -\frac{b}{2a} \) и \( y_в = ax_в^2 + bx_в + c \) или \( y_в = c - \frac{b^2}{4a} \).

1. а) \( y = x^2 - x - 2 \)
   \( a=1, b=-1, c=-2 \)
   \( x_в = -\frac{-1}{2\cdot 1} = \frac{1}{2} \)
   \( y_в = (\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2} - 2 = \frac{1}{4} - \frac{2}{4} - \frac{8}{4} = -\frac{9}{4} \)
   Вершина: \( (\frac{1}{2}, -\frac{9}{4}) \)
2. б) \( y = 3x^2 - 5x + 2 \)
   \( a=3, b=-5, c=2 \)
   \( x_в = -\frac{-5}{2\cdot 3} = \frac{5}{6} \)
   \( y_в = 3(\frac{5}{6})^2 - 5(\frac{5}{6}) + 2 = 3(\frac{25}{36}) - \frac{25}{6} + 2 = \frac{25}{12} - \frac{50}{12} + \frac{24}{12} = -\frac{1}{12} \)
   Вершина: \( (\frac{5}{6}, -\frac{1}{12}) \)
3. в) \( y = -0,5 x^2 - 3x + 3,5 \)
   \( a=-0.5, b=-3, c=3.5 \)
   \( x_в = -\frac{-3}{2\cdot (-0.5)} = -\frac{-3}{-1} = -3 \)
   \( y_в = -0.5(-3)^2 - 3(-3) + 3.5 = -0.5(9) + 9 + 3.5 = -4.5 + 9 + 3.5 = 8 \)
   Вершина: \( (-3, 8) \)
4. г) \( y = - x^2 + 4x \)
   \( a=-1, b=4, c=0 \)
   \( x_в = -\frac{4}{2\cdot (-1)} = -\frac{4}{-2} = 2 \)
   \( y_в = -(2)^2 + 4(2) = -4 + 8 = 4 \)
   Вершина: \( (2, 4) \)

2. Построение графика функции \( y = x^2 + 2x - 5 \)

Найдем координаты вершины параболы:

\( a=1, b=2, c=-5 \)
\( x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2\cdot 1} = -1 \)
\( y_в = (-1)^2 + 2(-1) - 5 = 1 - 2 - 5 = -6 \)
Вершина параболы: \( (-1, -6) \).

Найдем точки пересечения с осью X (приравняем \( y=0 \)):

\( x^2 + 2x - 5 = 0 \)
\( D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4(1)(-5) = 4 + 20 = 24 \)
\( x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{24}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{6}}{2} = -1 \pm \sqrt{6} \)
\( x_1 \approx -1 + 2.45 = 1.45 \)
\( x_2 \approx -1 - 2.45 = -3.45 \)

Точки пересечения с осью X: \( (-1 - \sqrt{6}, 0) \) и \( (-1 + \sqrt{6}, 0) \).

Точка пересечения с осью Y (при \( x=0 \)): \( y = 0^2 + 2(0) - 5 = -5 \). Точка \( (0, -5) \).

Ответ: 1. а) \( (\frac{1}{2}, -\frac{9}{4}) \); б) \( (\frac{5}{6}, -\frac{1}{12}) \); в) \( (-3, 8) \); г) \( (2, 4) \). 2. График функции \( y = x^2 + 2x - 5 \) — парабола с вершиной в точке \( (-1, -6) \), ветви направлены вверх, пересекает ось X в точках \( (-1 \pm \sqrt{6}, 0) \), ось Y — в точке \( (0, -5) \).