1. Найдите корни уравнения: 1) a) (x + 3)² = 2x + 6; б) (x + 2)² = 43 – 6x; в) 4(x - 1)² = 12x + 3; г) (x – 2)² + 24 = (2 + 3x)²; 2) a) (x - 3)(x + 3) = 5x - 13; б) 7(1 – x) = (2x + 3)(1 − x); в) -x(4x + 1) = (x + 2)(x-2); г) (x + 4)(2x – 1) = x(3x + 11); 3) a) \(\frac{2x^2 + x}{5} = \frac{4x - 2}{3}\); б) \(\frac{x^2 - 4}{3} + 4x = 3\); в) \(\frac{x^2 - 11}{7} = \frac{x - x^2}{2}\); г) \(\frac{4x^2+x}{3} - \frac{5x-1}{6} = \frac{x^2 + 17}{9}\).

Привет! Давай решим эти уравнения вместе. Я объясню каждый шаг, чтобы было понятно.

1. Найдите корни уравнения:

1)

a) \[ (x + 3)^2 = 2x + 6 \]

Раскроем скобки:

\[ x^2 + 6x + 9 = 2x + 6 \]

Перенесем все в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\[ x^2 + 6x - 2x + 9 - 6 = 0 \]

\[ x^2 + 4x + 3 = 0 \]

Теперь найдем корни по теореме Виета или через дискриминант. Через дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4 \]

\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 \pm 2}{2} \]

\[ x_1 = \frac{-4 + 2}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \]

\[ x_2 = \frac{-4 - 2}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \]

Ответ: \[ x = -1, x = -3 \]

б) \[ (x + 2)^2 = 43 - 6x \]

Раскроем скобки:

\[ x^2 + 4x + 4 = 43 - 6x \]

Перенесем все в одну сторону:

\[ x^2 + 4x + 6x + 4 - 43 = 0 \]

\[ x^2 + 10x - 39 = 0 \]

Дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-39) = 100 + 156 = 256 \]

\[ x_{1,2} = \frac{-10 \pm \sqrt{256}}{2 \cdot 1} = \frac{-10 \pm 16}{2} \]

\[ x_1 = \frac{-10 + 16}{2} = \frac{6}{2} = 3 \]

\[ x_2 = \frac{-10 - 16}{2} = \frac{-26}{2} = -13 \]

Ответ: \[ x = 3, x = -13 \]

в) \[ 4(x - 1)^2 = 12x + 3 \]

Раскроем скобки:

\[ 4(x^2 - 2x + 1) = 12x + 3 \]

\[ 4x^2 - 8x + 4 = 12x + 3 \]

Перенесем все в одну сторону:

\[ 4x^2 - 8x - 12x + 4 - 3 = 0 \]

\[ 4x^2 - 20x + 1 = 0 \]

Дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-20)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 400 - 16 = 384 \]

\[ \sqrt{384} = \sqrt{64 \cdot 6} = 8\sqrt{6} \]

\[ x_{1,2} = \frac{-(-20) \pm 8\sqrt{6}}{2 \cdot 4} = \frac{20 \pm 8\sqrt{6}}{8} = \frac{5 \pm 2\sqrt{6}}{2} \]

Ответ: \[ x = \frac{5 \pm 2\sqrt{6}}{2} \]

г) \[ (x - 2)^2 + 24 = (2 + 3x)^2 \]

Раскроем скобки:

\[ (x^2 - 4x + 4) + 24 = 4 + 12x + 9x^2 \]

\[ x^2 - 4x + 28 = 4 + 12x + 9x^2 \]

Перенесем все в одну сторону:

\[ 9x^2 - x^2 + 12x + 4x + 4 - 28 = 0 \]

\[ 8x^2 + 16x - 24 = 0 \]

Разделим на 8:

\[ x^2 + 2x - 3 = 0 \]

Дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 \]

\[ x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm 4}{2} \]

\[ x_1 = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1 \]

\[ x_2 = \frac{-2 - 4}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \]

Ответ: \[ x = 1, x = -3 \]

2)

a) \[ (x - 3)(x + 3) = 5x - 13 \]

Это разность квадратов:

\[ x^2 - 9 = 5x - 13 \]

Перенесем все в одну сторону:

\[ x^2 - 5x - 9 + 13 = 0 \]

\[ x^2 - 5x + 4 = 0 \]

Дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9 \]

\[ x_{1,2} = \frac{-(-5) \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm 3}{2} \]

\[ x_1 = \frac{5 + 3}{2} = \frac{8}{2} = 4 \]

\[ x_2 = \frac{5 - 3}{2} = \frac{2}{2} = 1 \]

Ответ: \[ x = 4, x = 1 \]

б) \[ 7(1 - x) = (2x + 3)(1 - x) \]

Перенесем все в одну сторону:

\[ 7(1 - x) - (2x + 3)(1 - x) = 0 \]

Вынесем общий множитель \[ (1 - x) \]:

\[ (1 - x) [7 - (2x + 3)] = 0 \]

\[ (1 - x) [7 - 2x - 3] = 0 \]

\[ (1 - x) [4 - 2x] = 0 \]

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

\[ 1 - x = 0 \implies x = 1 \]

\[ 4 - 2x = 0 \implies 2x = 4 \implies x = 2 \]

Ответ: \[ x = 1, x = 2 \]

в) \[ -x(4x + 1) = (x + 2)(x - 2) \]

Раскроем скобки:

\[ -4x^2 - x = x^2 - 4 \]

Перенесем все в одну сторону:

\[ x^2 + 4x^2 + x - 4 = 0 \]

\[ 5x^2 + x - 4 = 0 \]

Дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-4) = 1 + 80 = 81 \]

\[ x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{81}}{2 \cdot 5} = \frac{-1 \pm 9}{10} \]

\[ x_1 = \frac{-1 + 9}{10} = \frac{8}{10} = 0.8 \]

\[ x_2 = \frac{-1 - 9}{10} = \frac{-10}{10} = -1 \]

Ответ: \[ x = 0.8, x = -1 \]

г) \[ (x + 4)(2x - 1) = x(3x + 11) \]

Раскроем скобки:

\[ 2x^2 - x + 8x - 4 = 3x^2 + 11x \]

\[ 2x^2 + 7x - 4 = 3x^2 + 11x \]

Перенесем все в одну сторону:

\[ 3x^2 - 2x^2 + 11x - 7x + 4 = 0 \]

\[ x^2 + 4x + 4 = 0 \]

Это полный квадрат:

\[ (x + 2)^2 = 0 \]

Тогда:

\[ x + 2 = 0 \implies x = -2 \]

Ответ: \[ x = -2 \]

3)

a) \[ \frac{2x^2 + x}{5} = \frac{4x - 2}{3} \]

Домножим обе части на общий знаменатель 15:

\[ 3(2x^2 + x) = 5(4x - 2) \]

\[ 6x^2 + 3x = 20x - 10 \]

Перенесем все в одну сторону:

\[ 6x^2 + 3x - 20x + 10 = 0 \]

\[ 6x^2 - 17x + 10 = 0 \]

Дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-17)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 10 = 289 - 240 = 49 \]

\[ x_{1,2} = \frac{-(-17) \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 6} = \frac{17 \pm 7}{12} \]

\[ x_1 = \frac{17 + 7}{12} = \frac{24}{12} = 2 \]

\[ x_2 = \frac{17 - 7}{12} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6} \]

Ответ: \[ x = 2, x = \frac{5}{6} \]

б) \[ \frac{x^2 - 4}{3} + 4x = 3 \]

Умножим обе части на 3:

\[ x^2 - 4 + 12x = 9 \]

Перенесем все в одну сторону:

\[ x^2 + 12x - 4 - 9 = 0 \]

\[ x^2 + 12x - 13 = 0 \]

Дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = 12^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-13) = 144 + 52 = 196 \]

\[ x_{1,2} = \frac{-12 \pm \sqrt{196}}{2 \cdot 1} = \frac{-12 \pm 14}{2} \]

\[ x_1 = \frac{-12 + 14}{2} = \frac{2}{2} = 1 \]

\[ x_2 = \frac{-12 - 14}{2} = \frac{-26}{2} = -13 \]

Ответ: \[ x = 1, x = -13 \]

в) \[ \frac{x^2 - 11}{7} = \frac{x - x^2}{2} \]

Домножим обе части на общий знаменатель 14:

\[ 2(x^2 - 11) = 7(x - x^2) \]

\[ 2x^2 - 22 = 7x - 7x^2 \]

Перенесем все в одну сторону:

\[ 2x^2 + 7x^2 - 7x - 22 = 0 \]

\[ 9x^2 - 7x - 22 = 0 \]

Дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-22) = 49 + 792 = 841 \]

\[ \sqrt{841} = 29 \]

\[ x_{1,2} = \frac{-(-7) \pm 29}{2 \cdot 9} = \frac{7 \pm 29}{18} \]

\[ x_1 = \frac{7 + 29}{18} = \frac{36}{18} = 2 \]

\[ x_2 = \frac{7 - 29}{18} = \frac{-22}{18} = -\frac{11}{9} \]

Ответ: \[ x = 2, x = -\frac{11}{9} \]

г) \[ \frac{4x^2+x}{3} - \frac{5x-1}{6} = \frac{x^2 + 17}{9} \]

Домножим обе части на общий знаменатель 18:

\[ 6(4x^2 + x) - 3(5x - 1) = 2(x^2 + 17) \]

\[ 24x^2 + 6x - 15x + 3 = 2x^2 + 34 \]

\[ 24x^2 - 9x + 3 = 2x^2 + 34 \]

Перенесем все в одну сторону:

\[ 24x^2 - 2x^2 - 9x + 3 - 34 = 0 \]

\[ 22x^2 - 9x - 31 = 0 \]

Дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 22 \cdot (-31) = 81 + 2728 = 2809 \]

\[ \sqrt{2809} = 53 \]

\[ x_{1,2} = \frac{-(-9) \pm 53}{2 \cdot 22} = \frac{9 \pm 53}{44} \]

\[ x_1 = \frac{9 + 53}{44} = \frac{62}{44} = \frac{31}{22} \]

\[ x_2 = \frac{9 - 53}{44} = \frac{-44}{44} = -1 \]

Ответ: \[ x = \frac{31}{22}, x = -1 \]