1. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции y = f(x) на отрезке [a,b]: y=x³-3x²+2, [0;1]

Решение:

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции на заданном отрезке, нужно выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции:

   \[ y' = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x^2 + 2) \]

   \[ y' = 3x^2 - 6x \]

2. Найти критические точки:

   Приравняем производную к нулю и решим уравнение:

   \[ 3x^2 - 6x = 0 \]

   \[ 3x(x - 2) = 0 \]

   Критические точки: $$x_1 = 0$$ и $$x_2 = 2$$.

3. Проверить, попадают ли критические точки в заданный отрезок [0; 1]:

   Точка $$x_1 = 0$$ входит в отрезок [0; 1].

   Точка $$x_2 = 2$$ не входит в отрезок [0; 1].

4. Вычислить значения функции в критических точках, попадающих в отрезок, и на концах отрезка:

   Значения функции на концах отрезка:

   При $$x = 0$$: $$y = 0^3 - 3(0)^2 + 2 = 2$$.

   При $$x = 1$$: $$y = 1^3 - 3(1)^2 + 2 = 1 - 3 + 2 = 0$$.

   Значение функции в критической точке, входящей в отрезок:

   При $$x = 0$$: $$y = 0^3 - 3(0)^2 + 2 = 2$$. (Это значение уже было вычислено как значение на конце отрезка).

5. Сравнить полученные значения:

   Полученные значения функции: 2 и 0.

Наибольшее значение функции равно 2, а наименьшее значение равно 0.

Ответ: Наибольшее значение = 2, Наименьшее значение = 0