1. Найдите объём конуса, если его образующая равна 13 см, а площадь осевого сечения равна 60 см².

Решение:

Задача №1. Находим объём конуса.

1. Дано:
   Образующая конуса \( l = 13 \) см.
   Площадь осевого сечения \( S_{ос} = 60 \) см².
2. Найти:
   Объём конуса \( V \).
3. Решение:
   Осевое сечение конуса — это равнобедренный треугольник, две стороны которого равны образующей \( l \), а основание — диаметру \( d = 2r \) конуса. Высота этого треугольника — высота конуса \( h \).
   Площадь осевого сечения: \( S_{ос} = \frac{1}{2} d \cdot h = r \cdot h \).
   По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного радиусом, высотой и образующей: \( r^2 + h^2 = l^2 \).
   Из формулы площади осевого сечения выразим \( h \): \( h = \frac{S_{ос}}{r} = \frac{60}{r} \).
   Подставим \( h \) в теорему Пифагора:
   \[ r^2 + \left(\frac{60}{r}\right)^2 = 13^2 \]
   \[ r^2 + \frac{3600}{r^2} = 169 \]
   Умножим обе части уравнения на \( r^2 \) (так как \( r \neq 0 \)):
   \[ r^4 + 3600 = 169r^2 \]
   \[ r^4 - 169r^2 + 3600 = 0 \]
   Это биквадратное уравнение. Сделаем замену \( x = r^2 \).
   \[ x^2 - 169x + 3600 = 0 \]
   Решим квадратное уравнение.
   Дискриминант: \( D = (-169)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3600 = 28561 - 14400 = 14161 \).
   \( \sqrt{D} = \sqrt{14161} = 119 \).
   Найдём корни \( x \):
   \[ x_1 = \frac{169 + 119}{2} = \frac{288}{2} = 144 \]
   \[ x_2 = \frac{169 - 119}{2} = \frac{50}{2} = 25 \]
   Так как \( x = r^2 \), то:
   \( r^2 = 144 \) => \( r = \sqrt{144} = 12 \) см (так как радиус не может быть отрицательным).
   или
   \( r^2 = 25 \) => \( r = \sqrt{25} = 5 \) см.
   
   Случай 1: \( r = 12 \) см.
   Тогда высота \( h = \frac{60}{r} = \frac{60}{12} = 5 \) см.
   Проверим теорему Пифагора: \( 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169 = 13^2 \). Верно.
   Объём конуса: \( V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi \cdot 12^2 \cdot 5 = \frac{1}{3} \pi \cdot 144 \cdot 5 = \pi \cdot 48 \cdot 5 = 240\pi \) см³.
   
   Случай 2: \( r = 5 \) см.
   Тогда высота \( h = \frac{60}{r} = \frac{60}{5} = 12 \) см.
   Проверим теорему Пифагора: \( 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2 \). Верно.
   Объём конуса: \( V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi \cdot 5^2 \cdot 12 = \frac{1}{3} \pi \cdot 25 \cdot 12 = \pi \cdot 25 \cdot 4 = 100\pi \) см³.
   В условии задачи не указано, что образующая является гипотенузой, а радиус и высота — катетами. Поэтому возможны два варианта ответа.

Ответ: \( 240\pi \) см³ или \( 100\pi \) см³.