1. Найдите общий вид первообразной F(x) функции y= f(x):

Решение:

Для нахождения первообразной функции f(x), необходимо проинтегрировать каждое слагаемое.

1) f(x) = 2x³ – 5;

• $$F(x) = \int (2x^3 - 5) dx = 2 \int x^3 dx - \int 5 dx = 2 \frac{x^{3+1}}{3+1} - 5x + C = 2 \frac{x^4}{4} - 5x + C = \frac{1}{2}x^4 - 5x + C$$

3) f(x) = 4 x³ – 2 cos x + 5;

• $$F(x) = \int (4x^3 - 2 \cos x + 5) dx = 4 \int x^3 dx - 2 \int \cos x dx + \int 5 dx = 4 \frac{x^4}{4} - 2 \sin x + 5x + C = x^4 - 2 \sin x + 5x + C$$

5) f(x) = 6x⁵ + 4 sin x;

• $$F(x) = \int (6x^5 + 4 \sin x) dx = 6 \int x^5 dx + 4 \int \sin x dx = 6 \frac{x^6}{6} + 4(-\cos x) + C = x^6 - 4 \cos x + C$$

7) f(x) = 6x²-4;

• $$F(x) = \int (6x^2 - 4) dx = 6 \int x^2 dx - \int 4 dx = 6 \frac{x^3}{3} - 4x + C = 2x^3 - 4x + C$$

9) f(x) = 4 x³ - 3 cos x + 5;

• $$F(x) = \int (4x^3 - 3 \cos x + 5) dx = 4 \int x^3 dx - 3 \int \cos x dx + \int 5 dx = 4 \frac{x^4}{4} - 3 \sin x + 5x + C = x^4 - 3 \sin x + 5x + C$$

11) f(x) 2x cos3x;

• $$F(x) = \int 2x \cos 3x dx$$. Интегрируем по частям: $$u = 2x, dv = \cos 3x dx$$. Тогда $$du = 2dx, v = \frac{1}{3}\sin 3x$$.
• $$F(x) = uv - \int v du = 2x \cdot \frac{1}{3}\sin 3x - \int \frac{1}{3}\sin 3x \cdot 2 dx = \frac{2}{3}x \sin 3x - \frac{2}{3} \int \sin 3x dx = \frac{2}{3}x \sin 3x - \frac{2}{3} (-\frac{1}{3}\cos 3x) + C = \frac{2}{3}x \sin 3x + \frac{2}{9}\cos 3x + C$$

13) f(x)

• $$F(x) = \int f(x) dx + C$$ (первообразная зависит от конкретной функции f(x)).

15) f(x) 4 6x;

• $$F(x) = \int 4 \cdot 6x dx = 24 \int x dx = 24 \frac{x^2}{2} + C = 12x^2 + C$$

17) f(x) 5sin5x 4x;

• $$F(x) = \int (5 \sin 5x - 4x) dx = 5 \int \sin 5x dx - 4 \int x dx = 5(-\frac{1}{5}\cos 5x) - 4 \frac{x^2}{2} + C = -\cos 5x - 2x^2 + C$$

19) f(x)3x sinx;

• $$F(x) = \int 3x \sin x dx$$. Интегрируем по частям: $$u = 3x, dv = \sin x dx$$. Тогда $$du = 3dx, v = -\cos x$$.
• $$F(x) = uv - \int v du = 3x(-\cos x) - \int (-\cos x) \cdot 3 dx = -3x \cos x + 3 \int \cos x dx = -3x \cos x + 3 \sin x + C$$

2) f(x) = 8x⁷ + 2 sin x;

• $$F(x) = \int (8x^7 + 2 \sin x) dx = 8 \int x^7 dx + 2 \int \sin x dx = 8 \frac{x^8}{8} + 2(-\cos x) + C = x^8 - 2 \cos x + C$$

4) f(x) = 4x³ – 7;

• $$F(x) = \int (4x^3 - 7) dx = 4 \int x^3 dx - \int 7 dx = 4 \frac{x^4}{4} - 7x + C = x^4 - 7x + C$$

6) f(x) = 5 x⁴ – 5 cos x + 1;

• $$F(x) = \int (5x^4 - 5 \cos x + 1) dx = 5 \int x^4 dx - 5 \int \cos x dx + \int 1 dx = 5 \frac{x^5}{5} - 5 \sin x + x + C = x^5 - 5 \sin x + x + C$$

8) f(x) = 3x⁵ + 3 sin x;

• $$F(x) = \int (3x^5 + 3 \sin x) dx = 3 \int x^5 dx + 3 \int \sin x dx = 3 \frac{x^6}{6} + 3(-\cos x) + C = \frac{1}{2}x^6 - 3 \cos x + C$$

10) f(x) = 8x⁵ + 2 sin x + 4;

• $$F(x) = \int (8x^5 + 2 \sin x + 4) dx = 8 \int x^5 dx + 2 \int \sin x dx + \int 4 dx = 8 \frac{x^6}{6} + 2(-\cos x) + 4x + C = \frac{4}{3}x^6 - 2 \cos x + 4x + C$$

12) f(x) 3x sin2x;

• $$F(x) = \int 3x \sin 2x dx$$. Интегрируем по частям: $$u = 3x, dv = \sin 2x dx$$. Тогда $$du = 3dx, v = -\frac{1}{2}\cos 2x$$.
• $$F(x) = uv - \int v du = 3x(-\frac{1}{2}\cos 2x) - \int (-\frac{1}{2}\cos 2x) \cdot 3 dx = -\frac{3}{2}x \cos 2x + \frac{3}{2} \int \cos 2x dx = -\frac{3}{2}x \cos 2x + \frac{3}{2} (\frac{1}{2}\sin 2x) + C = -\frac{3}{2}x \cos 2x + \frac{3}{4}\sin 2x + C$$

14) f(x)

• $$F(x) = \int f(x) dx + C$$ (первообразная зависит от конкретной функции f(x)).

16) f(x) 3cos3x 2x;

• $$F(x) = \int (3 \cos 3x - 2x) dx = 3 \int \cos 3x dx - 2 \int x dx = 3(\frac{1}{3}\sin 3x) - 2 \frac{x^2}{2} + C = \sin 3x - x^2 + C$$

18) f(x)x²cos2x;

• $$F(x) = \int x^2 \cos 2x dx$$. Интегрируем по частям дважды.
• Первое интегрирование: $$u = x^2, dv = \cos 2x dx$$. Тогда $$du = 2xdx, v = \frac{1}{2}\sin 2x$$.
• $$F(x) = \frac{1}{2}x^2 \sin 2x - \int \frac{1}{2}\sin 2x \cdot 2x dx = \frac{1}{2}x^2 \sin 2x - \int x \sin 2x dx$$.
• Второе интегрирование для $$\int x \sin 2x dx$$: $$u = x, dv = \sin 2x dx$$. Тогда $$du = dx, v = -\frac{1}{2}\cos 2x$$.
• $$\int x \sin 2x dx = x(-\frac{1}{2}\cos 2x) - \int (-\frac{1}{2}\cos 2x) dx = -\frac{1}{2}x \cos 2x + \frac{1}{2} \int \cos 2x dx = -\frac{1}{2}x \cos 2x + \frac{1}{2}(\frac{1}{2}\sin 2x) = -\frac{1}{2}x \cos 2x + \frac{1}{4}\sin 2x$$.
• Подставляем обратно: $$F(x) = \frac{1}{2}x^2 \sin 2x - (-\frac{1}{2}x \cos 2x + \frac{1}{4}\sin 2x) + C = \frac{1}{2}x^2 \sin 2x + \frac{1}{2}x \cos 2x - \frac{1}{4}\sin 2x + C$$

20) f(x)5x³cos3x.

• $$F(x) = \int 5x^3 \cos 3x dx$$. Интегрируем по частям трижды.
• Первое интегрирование: $$u = 5x^3, dv = \cos 3x dx$$. Тогда $$du = 15x^2 dx, v = \frac{1}{3}\sin 3x$$.
• $$F(x) = 5x^3 \cdot \frac{1}{3}\sin 3x - \int \frac{1}{3}\sin 3x \cdot 15x^2 dx = \frac{5}{3}x^3 \sin 3x - 5 \int x^2 \sin 3x dx$$.
• Второе интегрирование для $$\int x^2 \sin 3x dx$$: $$u = x^2, dv = \sin 3x dx$$. Тогда $$du = 2xdx, v = -\frac{1}{3}\cos 3x$$.
• $$\int x^2 \sin 3x dx = x^2(-\frac{1}{3}\cos 3x) - \int (-\frac{1}{3}\cos 3x) 2x dx = -\frac{1}{3}x^2 \cos 3x + \frac{2}{3} \int x \cos 3x dx$$.
• Третье интегрирование для $$\int x \cos 3x dx$$: $$u = x, dv = \cos 3x dx$$. Тогда $$du = dx, v = \frac{1}{3}\sin 3x$$.
• $$\int x \cos 3x dx = x \cdot \frac{1}{3}\sin 3x - \int \frac{1}{3}\sin 3x dx = \frac{1}{3}x \sin 3x - \frac{1}{3}(-\frac{1}{3}\cos 3x) = \frac{1}{3}x \sin 3x + \frac{1}{9}\cos 3x$$.
• Подставляем обратно:
• $$\int x^2 \sin 3x dx = -\frac{1}{3}x^2 \cos 3x + \frac{2}{3}(\frac{1}{3}x \sin 3x + \frac{1}{9}\cos 3x) = -\frac{1}{3}x^2 \cos 3x + \frac{2}{9}x \sin 3x + \frac{2}{27}\cos 3x$$.
• Подставляем еще раз:
• $$F(x) = \frac{5}{3}x^3 \sin 3x - 5(-\frac{1}{3}x^2 \cos 3x + \frac{2}{9}x \sin 3x + \frac{2}{27}\cos 3x) + C \\ = \frac{5}{3}x^3 \sin 3x + \frac{5}{3}x^2 \cos 3x - \frac{10}{9}x \sin 3x - \frac{10}{27}\cos 3x + C$$