1. Найдите периметр четырёхугольника ABCD, если AB = 8, AD = 9, CD = 10, ∠A = 90°, ∠D = 120°.

Рассмотрим треугольник BCD. По теореме косинусов сначала найдём диагональ BD. Так как ∠A = 90°, в прямоугольном треугольнике ABD:

\(BD^2=AB^2+AD^2=8^2+9^2=145\).

Смежные углы при вершине D в четырёхугольнике и треугольнике BCD дополняют друг друга до 180°, поэтому \(\angle BDC=180°-120°=60°\).

По теореме косинусов:

\(BC^2=BD^2+CD^2-2\cdot BD\cdot CD\cdot\cos60°=145+100-10\sqrt{145}=245-10\sqrt{145}\).

Значит, \(BC=\sqrt{245-10\sqrt{145}}\), а периметр:

\(P_{ABCD}=AB+BC+CD+AD=27+\sqrt{245-10\sqrt{145}}\approx34.19\).

Ответ: \(27+\sqrt{245-10\sqrt{145}}\approx34.19\).