1. Найдите площадь равнобедренного треугольника со сторонами 10 см, 10 см и 12 см. 2. В параллелограмме две стороны 12 см и 16 см, а один из углов 150°. Найдите площадь параллелограмма. 3. В равнобедренной трапеции боковая сторона равна 13 см, основания 10 см и 20 см. Найдите площадь трапеции. 4. В ДАВС со сторонами АС=12 см и АВ=18 см проведена прямая MN, параллельная АС, MN=9 см. Найдите ВМ, отношение площадей треугольников ДАВС и ДВМN.

Задание 1. Площадь равнобедренного треугольника

Дано:

• Равнобедренный треугольник.
• Стороны: 10 см, 10 см, 12 см.

Найти: Площадь треугольника.

Решение:

1. Проведем высоту к основанию (12 см). Она разделит основание пополам (6 см) и образует два прямоугольных треугольника.
2. Найдем высоту (h) по теореме Пифагора: \[ h^2 + 6^2 = 10^2 \] \[ h^2 + 36 = 100 \] \[ h^2 = 100 - 36 \] \[ h^2 = 64 \] \[ h = \sqrt{64} = 8 \] см.
3. Площадь треугольника вычисляется по формуле: \[ S = \frac{1}{2} \cdot основание \cdot высота \]
4. Подставим значения: \[ S = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 8 = 6 \cdot 8 = 48 \] см².

Ответ: 48 см².

Задание 2. Площадь параллелограмма

Дано:

• Параллелограмм.
• Стороны: 12 см и 16 см.
• Угол между ними: 150°.

Найти: Площадь параллелограмма.

Решение:

1. Площадь параллелограмма вычисляется по формуле: \[ S = a \cdot b \cdot \sin(\alpha) \] где a и b — стороны, а \( \alpha \) — угол между ними.
2. Нам дан угол 150°. Синус угла 150° равен синусу (180° - 150°) = 30°, что составляет 0.5. \[ \sin(150^\circ) = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin(30^\circ) = 0.5 \]
3. Подставим значения: \[ S = 12 \cdot 16 \cdot 0.5 \] \[ S = 192 \cdot 0.5 = 96 \] см².

Ответ: 96 см².

Задание 3. Площадь равнобедренной трапеции

Дано:

• Равнобедренная трапеция.
• Боковая сторона: 13 см.
• Основания: 10 см и 20 см.

Найти: Площадь трапеции.

Решение:

1. Сначала найдем высоту трапеции. Проведем две высоты из концов меньшего основания к большему. Они разделят большее основание на три отрезка. Средний отрезок равен меньшему основанию (10 см). Два крайних отрезка равны и их сумма равна разности оснований: \( (20 - 10) : 2 = 10 : 2 = 5 \) см.
2. Теперь у нас есть прямоугольный треугольник с гипотенузой 13 см (боковая сторона) и одним катетом 5 см. Найдем второй катет — высоту (h) по теореме Пифагора: \[ h^2 + 5^2 = 13^2 \] \[ h^2 + 25 = 169 \] \[ h^2 = 169 - 25 \] \[ h^2 = 144 \] \[ h = \sqrt{144} = 12 \] см.
3. Площадь трапеции вычисляется по формуле: \[ S = \frac{a + b}{2} \cdot h \] где a и b — основания, h — высота.
4. Подставим значения: \[ S = \frac{10 + 20}{2} \cdot 12 \] \[ S = \frac{30}{2} \cdot 12 = 15 \cdot 12 = 180 \] см².

Ответ: 180 см².

Задание 4. Отношение площадей треугольников

Дано:

• В \( \triangle ABC \) проведена прямая \( MN \) параллельно \( AC \).
• \( AC = 12 \) см, \( AB = 18 \) см.
• \( MN = 9 \) см.

Найти: \( \frac{S_{ABC}}{S_{BMN}} \) и \( BM \).

Решение:

1. Так как \( MN \) параллельна \( AC \), то \( \triangle BMN \) подобен \( \triangle BAC \) по двум углам (угол B общий, \( \angle BMN = \angle BAC \) как соответственные при параллельных \( MN \) и \( AC \) и секущей \( AB \)).
2. Найдем коэффициент подобия по сторонам \( MN \) и \( AC \): \[ k = \frac{MN}{AC} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4} \]
3. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия: \[ \frac{S_{BMN}}{S_{ABC}} = k^2 = \left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{9}{16} \]
4. Следовательно, отношение площадей \( \triangle ABC \) к \( \triangle BMN \) равно: \[ \frac{S_{ABC}}{S_{BMN}} = \frac{16}{9} \]
5. Найдем длину отрезка \( BM \). Так как \( \triangle BMN \) подобен \( \triangle BAC \) с коэффициентом \( k = \frac{3}{4} \), то отношение соответствующих сторон равно этому коэффициенту: \[ \frac{BM}{BA} = k \] \[ \frac{BM}{18} = \frac{3}{4} \] \[ BM = 18 \cdot \frac{3}{4} = \frac{54}{4} = 13.5 \] см.

Ответ: Отношение площадей \( \frac{S_{ABC}}{S_{BMN}} = \frac{16}{9} \), \( BM = 13.5 \) см.