1. Найдите площадь треугольника MCB'.

Обозначим площадь треугольника ABC через S, а барицентрические координаты точки M — через (α, β, γ), где α + β + γ = 1.

Так как AA′, BB′ и CC′ проходят через M, из теоремы Чевы для точек пересечения с противоположными сторонами получаем: B′ = (α/(α + γ), 0, γ/(α + γ)), C′ = (α/(α + β), β/(α + β), 0).

Поэтому площади выражаются так: AMB′ = βγS/(α + γ) = 3; AMC′ = βγS/(α + β) = 3. Отсюда α + γ = α + β, значит, β = γ.

Площадь BMC′ равна αγS/(α + β) = 6. При β = γ отношение этой площади к площади AMB′ равно α/β, поэтому α/β = 6/3 = 2.

Искомая площадь MCB′ равна βαS/(α + γ). При β = γ её отношение к площади AMB′ составляет α/β = 2.

Ответ: 6