1. Найдите производные: 1) f(x) = 3x^5 - 2x^2 + 4x 2) f(x) = \(\sqrt{x}\) \(\cdot\) \(2\sin{x} + 1\)

Решение:

• 1) Для нахождения производной функции f(x) = 3x^5 - 2x^2 + 4x, применяем правило дифференцирования степенной функции (x^n)' = nx^(n-1) и линейности производной (af(x) + bg(x))' = af'(x) + bg'(x).
• Производная от 3x^5: 3 * 5x^(5-1) = 15x^4.
• Производная от -2x^2: -2 * 2x^(2-1) = -4x.
• Производная от 4x: 4 * 1x^(1-1) = 4.
• Суммируя, получаем: f'(x) = 15x^4 - 4x + 4.
• 2) Для нахождения производной функции f(x) = \(\sqrt{x}\) \(\cdot\) \(2\sin{x} + 1\), применим правило умножения (uv)' = u'v + uv', где u = \(\sqrt{x}\) = x^(1/2) и v = 2\(\sin{x}\) + 1.
• Производная от u: u' = (1/2)x^((1/2)-1) = (1/2)x^(-1/2) = 1 / \(2\sqrt{x}\).
• Производная от v: v' = \(2\sin{x} + 1\)' = 2\(\cos{x}\).
• Подставляем в формулу произведения:
• f'(x) = (1 / \(2\sqrt{x}\)) \(\cdot\) \(2\sin{x} + 1\) + \(\sqrt{x}\) \(\cdot\) \(2\cos{x}\).
• Упрощаем:
• f'(x) = \(2\sin{x} + 1\) / \(2\sqrt{x}\) + 2\(\sqrt{x}\)\(\cos{x}\).

Ответ:

• 1) f'(x) = 15x^4 - 4x + 4
• 2) f'(x) = \(2\sin{x} + 1\) / \(2\sqrt{x}\) + 2\(\sqrt{x}\)\(\cos{x}\)