1. Найдите промежутки возрастания и убывания: а) \(f(x)=x+\frac{5}{x}\); б) \(f(x)=x+\frac{3}{x}\).

а) \(f(x)=x+\frac{5}{x}\)

Область определения: \(x\ne 0\). Производная: \(f'(x)=1-\frac{5}{x^2}=\frac{x^2-5}{x^2}\). Знаменатель положителен при \(x\ne0\), поэтому знак производной определяется числителем: он положителен при \(|x|>\sqrt5\) и отрицателен при \(|x|<\sqrt5\).

Функция возрастает на \(( -\infty,-\sqrt5)\) и \((\sqrt5,+\infty)\); убывает на \((-\sqrt5,0)\) и \((0,\sqrt5)\).

б) \(f(x)=x+\frac{3}{x}\)

Область определения: \(x\ne 0\). Производная: \(f'(x)=1-\frac{3}{x^2}=\frac{x^2-3}{x^2}\). Она положительна при \(|x|>\sqrt3\) и отрицательна при \(0<|x|<\sqrt3\).

Функция возрастает на \(( -\infty,-\sqrt3)\) и \((\sqrt3,+\infty)\); убывает на \((-\sqrt3,0)\) и \((0,\sqrt3)\).