1. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник со сторонами 4 см, 13 см и 15 см.

Решение:

Для нахождения радиуса вписанной окружности (r) будем использовать формулу:

r = S / p

где S — площадь треугольника, а p — полупериметр треугольника.

1. Находим полупериметр (p):
   Стороны треугольника: a = 4 см, b = 13 см, c = 15 см.
   p = (a + b + c) / 2 = (4 + 13 + 15) / 2 = 32 / 2 = 16 см.
2. Находим площадь треугольника (S) по формуле Герона:
   S = sqrt(p * (p - a) * (p - b) * (p - c))
S = sqrt(16 * (16 - 4) * (16 - 13) * (16 - 15))
S = sqrt(16 * 12 * 3 * 1)
S = sqrt(16 * 36)
S = 4 * 6 = 24 см².
3. Находим радиус вписанной окружности (r):
   r = S / p = 24 / 16 = 1.5 см.

Ответ: 1.5 см