1. Найдите сумму первых шести членов геометрической прогрессии (b_n), в которой: a) b_1 = 27, q = 1/3; б) b_1 = -9, q = 2; в) b_1 = 16, q = -1/2; г) b_1 = 3√2, q = √2.

Решение:

Чтобы найти сумму первых шести членов геометрической прогрессии, будем использовать формулу:

\[ S_n = b_1 \frac{1 - q^n}{1 - q} \]

где S_n — сумма первых n членов, b_1 — первый член прогрессии, q — знаменатель прогрессии, n — количество членов.

В данном случае n = 6.

а) b₁ = 27, q = 1/3

• Подставляем значения в формулу:
• \[ S_6 = 27 \frac{1 - (1/3)^6}{1 - 1/3} \]
• \[ S_6 = 27 \frac{1 - 1/729}{2/3} \]
• \[ S_6 = 27 \frac{728/729}{2/3} \]
• \[ S_6 = 27 \cdot \frac{728}{729} \cdot \frac{3}{2} \]
• \[ S_6 = \frac{27 \cdot 728 \cdot 3}{729 \cdot 2} \]
• \[ S_6 = \frac{3 \cdot 728}{27 \cdot 2} \]
• \[ S_6 = \frac{728}{9 \cdot 2} \]
• \[ S_6 = \frac{728}{18} \]
• \[ S_6 = \frac{364}{9} \]

б) b₁ = -9, q = 2

• Подставляем значения в формулу:
• \[ S_6 = -9 \frac{1 - 2^6}{1 - 2} \]
• \[ S_6 = -9 \frac{1 - 64}{-1} \]
• \[ S_6 = -9 \frac{-63}{-1} \]
• \[ S_6 = -9 \cdot 63 \]
• \[ S_6 = -567 \]

в) b₁ = 16, q = -1/2

• Подставляем значения в формулу:
• \[ S_6 = 16 \frac{1 - (-1/2)^6}{1 - (-1/2)} \]
• \[ S_6 = 16 \frac{1 - 1/64}{1 + 1/2} \]
• \[ S_6 = 16 \frac{63/64}{3/2} \]
• \[ S_6 = 16 \cdot \frac{63}{64} \cdot \frac{2}{3} \]
• \[ S_6 = \frac{16 \cdot 63 \cdot 2}{64 \cdot 3} \]
• \[ S_6 = \frac{63 \cdot 2}{4 \cdot 3} \]
• \[ S_6 = \frac{21 \cdot 2}{4} \]
• \[ S_6 = \frac{21}{2} \]

г) b₁ = 3√2, q = √2

• Подставляем значения в формулу:
• \[ S_6 = 3\sqrt{2} \frac{1 - (\sqrt{2})^6}{1 - \sqrt{2}} \]
• \[ S_6 = 3\sqrt{2} \frac{1 - 8}{1 - \sqrt{2}} \]
• \[ S_6 = 3\sqrt{2} \frac{-7}{1 - \sqrt{2}} \]
• \[ S_6 = \frac{-21\sqrt{2}}{1 - \sqrt{2}} \]
• Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение (1 + √2):
• \[ S_6 = \frac{-21\sqrt{2}(1 + \sqrt{2})}{(1 - \sqrt{2})(1 + \sqrt{2})} \]
• \[ S_6 = \frac{-21\sqrt{2} - 21\cdot 2}{1^2 - (\sqrt{2})^2} \]
• \[ S_6 = \frac{-21\sqrt{2} - 42}{1 - 2} \]
• \[ S_6 = \frac{-21\sqrt{2} - 42}{-1} \]
• \[ S_6 = 21\sqrt{2} + 42 \]

Ответ:

• а) 364/9
• б) -567
• в) 21/2
• г) 42 + 21√2