1. Найдите углы параллелограмма, если один угол 54°. 2. Продолжения боковых сторон AB и CD трапеции ABCD пересекаются в точке Р. Меньшее основание BC равно 8 см, PC = 7 см, CD = 21 см. Найдите большее основание трапеции. 3. Высота KP треугольника MNK делит его сторону MN на отрезки MP и PN. Найдите сторону KM, если MP = 4 см, PN = 3 см, ∠MKP = 60°. 4. Найдите синус и косинус острых углов треугольника ABC, если угол С прямой, катет AC = 9 см, гипотенуза AB = 15 см. 5. Основания равнобокой трапеции равны 10 см и 18 см, боковая сторона 10 см. Вычислите площадь трапеции.

1. Углы параллелограмма:

В параллелограмме противоположные углы равны, а сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°.

Если один угол равен 54°, то противоположный ему угол тоже равен 54°.

Два других угла равны: \( 180° - 54° = 126° \).

Ответ: 54°, 126°, 54°, 126°.

2. Большее основание трапеции:

Продолжения боковых сторон AB и CD трапеции ABCD пересекаются в точке P. Треугольники PBC и PAD подобны.

Из подобия следует соотношение сторон:

\( \frac{BC}{AD} = \frac{PC}{PD} \)

Известно:

\( BC = 8 \) см

\( PC = 7 \) см

\( CD = 21 \) см

Тогда \( PD = PC + CD = 7 + 21 = 28 \) см.

Подставим значения в пропорцию:

\( \frac{8}{AD} = \frac{7}{28} \)

\( AD = \frac{8 \cdot 28}{7} = 8 \cdot 4 = 32 \) см.

Ответ: 32 см.

3. Сторона KM треугольника MNK:

В треугольнике MNK проведена высота KP, которая делит сторону MN на отрезки MP и PN. Угол ∠MKP = 60°.

Рассмотрим прямоугольный треугольник MKP (так как KP — высота).

Мы знаем катет MP = 4 см и угол ∠MKP = 60°.

Используем определение тангенса угла:

\( \tan(\angle MKP) = \frac{MP}{KP} \)

\( \tan(60°) = \frac{4}{KP} \)

\( \sqrt{3} = \frac{4}{KP} \)

\( KP = \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3} \) см.

Теперь найдем сторону KM, используя определение косинуса угла:

\( \cos(\angle MKP) = \frac{KP}{KM} \)

\( \cos(60°) = \frac{KP}{KM} \)

\( \frac{1}{2} = \frac{4\sqrt{3}/3}{KM} \)

\( KM = 2 \cdot \frac{4\sqrt{3}}{3} = \frac{8\sqrt{3}}{3} \) см.

Ответ: \( \frac{8\sqrt{3}}{3} \) см.

4. Синус и косинус острых углов треугольника ABC:

Дан прямоугольный треугольник ABC, где ∠C = 90°.

Катет AC = 9 см, гипотенуза AB = 15 см.

Найдем второй катет BC по теореме Пифагора:

\( AB^2 = AC^2 + BC^2 \)

\( 15^2 = 9^2 + BC^2 \)

\( 225 = 81 + BC^2 \)

\( BC^2 = 225 - 81 = 144 \)

\( BC = \sqrt{144} = 12 \) см.

Найдем синус и косинус острых углов A и B:

\( \sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{12}{15} = \frac{4}{5} = 0.8 \)

\( \cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{9}{15} = \frac{3}{5} = 0.6 \)

\( \sin B = \frac{AC}{AB} = \frac{9}{15} = \frac{3}{5} = 0.6 \)

\( \cos B = \frac{BC}{AB} = \frac{12}{15} = \frac{4}{5} = 0.8 \)

Ответ: \( \sin A = 0.8 \), \( \cos A = 0.6 \), \( \sin B = 0.6 \), \( \cos B = 0.8 \).

5. Площадь равнобокой трапеции:

Основания равнобокой трапеции: \( a = 18 \) см, \( b = 10 \) см.

Боковая сторона \( c = 10 \) см.

Найдем высоту трапеции.

Опустим высоту из вершин меньшего основания на большее. Получим два прямоугольных треугольника.

Разность оснований: \( 18 - 10 = 8 \) см. Эта разность делится пополам на два отрезка у оснований: \( 8 / 2 = 4 \) см.

В прямоугольном треугольнике катетами являются высота \( h \) и отрезок 4 см, а гипотенузой — боковая сторона 10 см.

По теореме Пифагора:

\( h^2 + 4^2 = 10^2 \)

\( h^2 + 16 = 100 \)

\( h^2 = 100 - 16 = 84 \)

\( h = \sqrt{84} = \sqrt{4 \cdot 21} = 2\sqrt{21} \) см.

Площадь трапеции вычисляется по формуле:

\( S = \frac{a+b}{2} \cdot h \)

\( S = \frac{18+10}{2} \cdot 2\sqrt{21} \)

\( S = \frac{28}{2} \cdot 2\sqrt{21} \)

\( S = 14 \cdot 2\sqrt{21} = 28\sqrt{21} \) см².

Ответ: \( 28\sqrt{21} \) см².