1) Найдите угол α, используя данные рисунка. В треугольнике с вписанной окружностью проведены отрезки из двух вершин к центру окружности. Угол между верхней стороной и отрезком к центру равен 25°, угол между нижней стороной и отрезком к центру равен 35°; α — угол третьей вершины.

Радиусы, проведённые к точкам касания, перпендикулярны сторонам треугольника. Поэтому перпендикуляры от центра окружности к сторонам образуют с отрезками из вершин прямые углы.

Верхний угол треугольника разделён на угол 25° и угол между радиусом к точке касания и стороной. Последний равен 90° − 25° = 65°, поэтому весь верхний угол равен 25° + 65° = 90°? В действительности отрезок к центру является биссектрисой угла при вершине: касательные из одной точки равны, а треугольники с радиусами к точкам касания равны. Следовательно, верхний угол равен 2 · 25° = 50°.

Аналогично нижний угол равен 2 · 35° = 70°.

Сумма углов треугольника равна 180°:

α = 180° − 50° − 70° = 60°.

Ответ: α = 60°.