1. Найдите угол правильного 20-угольника. 2. Найдите сторону правильного треугольника, если радиус описанной окружности 3,5 см. 3. Сторона правильного треугольника 5,3 см. Найдите радиус описанной окружности и площадь треугольника. 4. Найдите площадь круга, если его радиус 10 см. 5. Найдите длину дуги окружности радиуса 8 см, ограниченную углом 27. 6. Найдите радиус окружности и площадь круга, если длина окружности равна 11 7. Найдите координаты точек, симметричных точкам М (-6;8) и К (0;-2) относительно: 1) оси абсцисс; 2) оси ординат; 3) начала координат. 8. Начертите треугольник АВС. Постройте образ треугольника АВС: 1) при параллельном переносе на вектор АВ; 2) при симметрии относительно точки В; 3) при симметрии относительно прямой АС. «Правильные многоугольники. Окружность. Движения плоскости» Вариант 2 1. Найдите угол правильного 12-угольника. 2. Найдите площадь правильного треугольника, если радиус описанной окружности 5 см. 3. Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, равен 12,3 см. Найдите сторону треугольника и его площадь. 4. Найдите длину окружности, если ее радиус 9 см. 5. Найдите площадь кругового сектора радиуса 1 см, ограниченного углом 81. 6. Найдите радиус и длину окружности, если площадь круга равна 25 7. Найдите координаты точек, симметричных точкам С (4;-3) и D (8;0) относительно: 1) оси ординат; 2) оси абсцисс; 3) начала координат. 8. Начертите треугольник DEF. Постройте образ треугольника DEF: 1) при параллельном переносе на вектор DF; 2) при симметрии относительно точки D; 3) при симметрии относительно прямой EF. «Правильные многоугольники. Окружность. Движения плоскости» Вариант 1 1. Найдите угол правильного 20-угольника. 2. Найдите сторону правильного треугольника, если радиус описанной окружности 3,5 см 3. Сторона правильного треугольника 5,3 см. Найдите радиус описанной окружности и площадь треугольника. 4. Найдите площадь круга, если его радиус 10 см. 5. Найдите длину дуги окружности радиуса 8 см, ограниченную углом 27. 6. Найдите радиус окружности и площадь круга, если длина окружности равна 11 7. Найдите координаты точек, симметричных точкам М (-6:8) и К (0;-2) относительно: 1) оси абсцисс; 2) оси ординат; 3) начала координат. 8. Начертите треугольник АВС. Постройте образ треугольника АВС: 1) при параллельном переносе на вектор AB; 2) при симметрии относительно точки В; 3) при симметрии относительно прямой АС.

Вариант 1

1. Угол правильного 20-угольника равен: \[ \frac{(20-2) \times 180^{\circ}}{20} = \frac{18 imes 180^{\circ}}{20} = 9 imes 18^{\circ} = 162^{\circ} \] Ответ: 162°
2. Формула для нахождения стороны правильного треугольника через радиус описанной окружности: \[ a = R \sqrt{3} \] Где $$a$$ - сторона треугольника, $$R$$ - радиус описанной окружности. Подставляем значение $$R = 3,5$$ см: \[ a = 3,5 \sqrt{3} \text{ см} \] Ответ: $$3,5 \sqrt{3}$$ см
3. Формула для нахождения радиуса описанной окружности через сторону правильного треугольника: \[ R = \frac{a}{\sqrt{3}} \] Где $$a$$ - сторона треугольника. Подставляем значение $$a = 5,3$$ см: \[ R = \frac{5,3}{\sqrt{3}} = \frac{5,3 \sqrt{3}}{3} \text{ см} \] Площадь правильного треугольника: \[ S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \] Подставляем значение $$a = 5,3$$ см: \[ S = \frac{(5,3)^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{28,09 \sqrt{3}}{4} \text{ см}^2 \] Ответ: $$R = \frac{5,3 \sqrt{3}}{3}$$ см, $$S = \frac{28,09 \sqrt{3}}{4}$$ см$$^2$$
4. Площадь круга вычисляется по формуле: \[ S = \pi R^2 \] Где $$R$$ - радиус круга. Подставляем значение $$R = 10$$ см: \[ S = \pi (10 \text{ см})^2 = 100 \pi \text{ см}^2 \] Ответ: $$100 \pi$$ см$$^2$$
5. Длина дуги окружности вычисляется по формуле: \[ L = \frac{\pi R \alpha}{180^{\circ}} \] Где $$R$$ - радиус окружности, $$\alpha$$ - центральный угол в градусах. Подставляем значения $$R = 8$$ см и $$\alpha = 27^{\circ}$$: \[ L = \frac{\pi imes 8 \text{ см} imes 27^{\circ}}{180^{\circ}} = \frac{216 \pi}{180} \text{ см} = \frac{6 \pi}{5} \text{ см} \] Ответ: $$\frac{6 \pi}{5}$$ см
6. Длина окружности вычисляется по формуле: \[ C = 2 \pi R \] Также, площадь круга вычисляется по формуле: \[ S = \pi R^2 \] Из формулы длины окружности выразим радиус: \[ R = \frac{C}{2 \pi} \] Из формулы площади круга выразим радиус: \[ R = \sqrt{\frac{S}{\pi}} \] По условию, длина окружности равна 11: \[ C = 11 \] Значит, радиус: \[ R = \frac{11}{2 \pi} \] Теперь найдем площадь круга, используя этот радиус: \[ S = \pi R^2 = \pi \left( \frac{11}{2 \pi} \right)^2 = \pi \frac{121}{4 \pi^2} = \frac{121}{4 \pi} \] Ответ: $$R = \frac{11}{2 \pi}$$, $$S = \frac{121}{4 \pi}$$
7. Чтобы найти координаты симметричных точек, используем правила отражения: 1) Относительно оси абсцисс (оси X): координаты точки $$(x, y)$$ переходят в $$(x, -y)$$. - Для точки М (-6; 8): М' (-6; -8). - Для точки К (0; -2): К' (0; 2). 2) Относительно оси ординат (оси Y): координаты точки $$(x, y)$$ переходят в $$(-x, y)$$. - Для точки М (-6; 8): М'' (6; 8). - Для точки К (0; -2): К'' (0; -2). 3) Относительно начала координат (точки O (0;0)): координаты точки $$(x, y)$$ переходят в $$(-x, -y)$$. - Для точки М (-6; 8): М''' (6; -8). - Для точки К (0; -2): К''' (0; 2). Ответ: 1) М'(-6;-8), К'(0;2); 2) М''(6;8), К''(0;-2); 3) М'''(6;-8), К'''(0;2)
8. Построение образа треугольника АВС зависит от конкретного положения точек А, В, С и вектора АВ. Общие принципы: 1) Параллельный перенос: Каждая точка треугольника переносится на вектор АВ. Если А=(x_A, y_A) и В=(x_B, y_B), то вектор АВ = (x_B - x_A, y_B - y_A). Точка P=(x_P, y_P) переносится в P'=(x_P + (x_B - x_A), y_P + (y_B - y_A)). 2) Симметрия относительно точки В: Каждая точка треугольника отражается относительно точки В. Если В=(x_B, y_B) и точка P=(x_P, y_P), то ее образ P'=(2x_B - x_P, 2y_B - y_P). 3) Симметрия относительно прямой АС: Каждая точка треугольника отражается относительно прямой АС. Для этого нужно найти перпендикуляр из точки на прямую АС и отложить его на том же расстоянии с другой стороны.

Вариант 2

1. Угол правильного 12-угольника равен: \[ \frac{(12-2) imes 180^{\circ}}{12} = \frac{10 imes 180^{\circ}}{12} = 10 imes 15^{\circ} = 150^{\circ} \] Ответ: 150°
2. Формула площади правильного треугольника через радиус описанной окружности: \[ S = \frac{3 \sqrt{3}}{4} R^2 \] Где $$R$$ - радиус описанной окружности. Подставляем значение $$R = 5$$ см: \[ S = \frac{3 \sqrt{3}}{4} (5 \text{ см})^2 = \frac{3 \sqrt{3}}{4} imes 25 \text{ см}^2 = \frac{75 \sqrt{3}}{4} \text{ см}^2 \] Ответ: $$\frac{75 \sqrt{3}}{4}$$ см$$^2$$
3. Радиус вписанной окружности в правильный треугольник: \[ r = \frac{a}{2 \sqrt{3}} \] Где $$a$$ - сторона треугольника. Из этой формулы выразим сторону $$a$$: \[ a = 2 \sqrt{3} r \] Подставляем значение $$r = 12,3$$ см: \[ a = 2 \sqrt{3} imes 12,3 \text{ см} = 24,6 \sqrt{3} \text{ см} \] Площадь правильного треугольника: \[ S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \] Подставляем найденное значение $$a$$: \[ S = \frac{(24,6 \sqrt{3})^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{(24,6)^2 imes 3 \sqrt{3}}{4} = \frac{605,16 imes 3 \sqrt{3}}{4} = \frac{1815,48 \sqrt{3}}{4} = 453,87 \sqrt{3} \text{ см}^2 \] Ответ: $$a = 24,6 \sqrt{3}$$ см, $$S = 453,87 \sqrt{3}$$ см$$^2$$
4. Длина окружности вычисляется по формуле: \[ C = 2 \pi R \] Где $$R$$ - радиус окружности. Подставляем значение $$R = 9$$ см: \[ C = 2 \pi imes 9 \text{ см} = 18 \pi \text{ см} \] Ответ: $$18 \pi$$ см
5. Площадь кругового сектора вычисляется по формуле: \[ S_{сектор} = \frac{\pi R^2 \alpha}{360^{\circ}} \] Где $$R$$ - радиус сектора, $$\alpha$$ - центральный угол в градусах. Подставляем значения $$R = 1$$ см и $$\alpha = 81^{\circ}$$: \[ S_{сектор} = \frac{\pi (1 \text{ см})^2 imes 81^{\circ}}{360^{\circ}} = \frac{81 \pi}{360} \text{ см}^2 = \frac{9 \pi}{40} \text{ см}^2 \] Ответ: $$\frac{9 \pi}{40}$$ см$$^2$$
6. Площадь круга вычисляется по формуле: \[ S = \pi R^2 \] Длина окружности вычисляется по формуле: \[ C = 2 \pi R \] По условию, площадь круга равна 25: \[ S = 25 \] Из формулы площади найдем радиус: \[ R^2 = \frac{S}{\pi} = \frac{25}{\pi} \] \[ R = \sqrt{\frac{25}{\pi}} = \frac{5}{\sqrt{\pi}} = \frac{5 \sqrt{\pi}}{\pi} \] Теперь найдем длину окружности, используя этот радиус: \[ C = 2 \pi R = 2 \pi imes \frac{5 \sqrt{\pi}}{\pi} = 10 \sqrt{\pi} \] Ответ: $$R = \frac{5 \sqrt{\pi}}{\pi}$$, $$C = 10 \sqrt{\pi}$$
7. Чтобы найти координаты симметричных точек, используем правила отражения: 1) Относительно оси ординат (оси Y): координаты точки $$(x, y)$$ переходят в $$(-x, y)$$. - Для точки С (4; -3): С' (-4; -3). - Для точки D (8; 0): D' (-8; 0). 2) Относительно оси абсцисс (оси X): координаты точки $$(x, y)$$ переходят в $$(x, -y)$$. - Для точки С (4; -3): С'' (4; 3). - Для точки D (8; 0): D'' (8; 0). 3) Относительно начала координат (точки O (0;0)): координаты точки $$(x, y)$$ переходят в $$(-x, -y)$$. - Для точки С (4; -3): С''' (-4; 3). - Для точки D (8; 0): D''' (-8; 0). Ответ: 1) С'(-4;-3), D'(-8;0); 2) С''(4;3), D''(8;0); 3) С'''(-4;3), D'''(-8;0)
8. Построение образа треугольника DEF зависит от конкретного положения точек D, E, F и вектора DF. Общие принципы: 1) Параллельный перенос: Каждая точка треугольника переносится на вектор DF. Если D=(x_D, y_D) и F=(x_F, y_F), то вектор DF = (x_F - x_D, y_F - y_D). Точка P=(x_P, y_P) переносится в P'=(x_P + (x_F - x_D), y_P + (y_F - y_D)). 2) Симметрия относительно точки D: Каждая точка треугольника отражается относительно точки D. Если D=(x_D, y_D) и точка P=(x_P, y_P), то ее образ P'=(2x_D - x_P, 2y_D - y_P). 3) Симметрия относительно прямой EF: Каждая точка треугольника отражается относительно прямой EF. Для этого нужно найти перпендикуляр из точки на прямую EF и отложить его на том же расстоянии с другой стороны.