№1. Найдите значение каждого выражения, используя метод группировки Гаусса. A) 77 + 78 + 79 + 80 + ... + 95 + 96 = Б) 11 + 22 + 33 + 44 + ... + 88 + 99 = B) 15 + 20 + 25 + 30 + ... + 175 + 180 = Г) 34 + 40 + 46 +52 +58 + ... + 1234 =

Решение:

Для решения применим метод Гаусса, который заключается в группировке слагаемых попарно так, чтобы сумма каждой пары была одинаковой. Затем мы умножаем эту сумму на количество пар.

А) 77 + 78 + 79 + 80 + ... + 95 + 96

Это арифметическая прогрессия с первым членом \( a_1 = 77 \) и последним членом \( a_n = 96 \). Разность прогрессии \( d = 1 \).

Найдем количество членов прогрессии: \( n = \frac{a_n - a_1}{d} + 1 = \frac{96 - 77}{1} + 1 = 19 + 1 = 20 \) членов.

Сумма прогрессии \( S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n \) по методу Гаусса.

Сумма первой и последней пары: \( 77 + 96 = 173 \).

Количество пар: \( \frac{20}{2} = 10 \) пар.

Общая сумма: \( S_{20} = 173 \cdot 10 = 1730 \).

Ответ: 1730

Б) 11 + 22 + 33 + 44 + ... + 88 + 99

Это арифметическая прогрессия с первым членом \( a_1 = 11 \) и последним членом \( a_n = 99 \). Разность прогрессии \( d = 11 \).

Найдем количество членов прогрессии: \( n = \frac{99 - 11}{11} + 1 = \frac{88}{11} + 1 = 8 + 1 = 9 \) членов.

Здесь нечетное количество членов, поэтому мы можем сгруппировать пары, а средний член останется один. Однако, если мы применим формулу Гаусса, мы можем удвоить сумму средних элементов, а затем разделить на 2. Или, более просто, найти сумму первой и последней пары: \( 11 + 99 = 110 \).

Применим формулу суммы арифметической прогрессии: \( S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n \).

\( S_9 = \frac{11 + 99}{2} \cdot 9 = \frac{110}{2} \cdot 9 = 55 \cdot 9 = 495 \).

Ответ: 495

B) 15 + 20 + 25 + 30 + ... + 175 + 180

Это арифметическая прогрессия с первым членом \( a_1 = 15 \) и последним членом \( a_n = 180 \). Разность прогрессии \( d = 5 \).

Найдем количество членов прогрессии: \( n = \frac{180 - 15}{5} + 1 = \frac{165}{5} + 1 = 33 + 1 = 34 \) члена.

Сумма первой и последней пары: \( 15 + 180 = 195 \).

Количество пар: \( \frac{34}{2} = 17 \) пар.

Общая сумма: \( S_{34} = 195 \cdot 17 \).

\[ 195 \cdot 17 = 195 \cdot (10 + 7) = 1950 + 195 \cdot 7 = 1950 + 1365 = 3315 \]

Ответ: 3315

Г) 34 + 40 + 46 + 52 + 58 + ... + 1234

Это арифметическая прогрессия с первым членом \( a_1 = 34 \) и последним членом \( a_n = 1234 \). Разность прогрессии \( d = 40 - 34 = 6 \).

Найдем количество членов прогрессии: \( n = \frac{1234 - 34}{6} + 1 = \frac{1200}{6} + 1 = 200 + 1 = 201 \) член.

Сумма первой и последней пары: \( 34 + 1234 = 1268 \).

Используем формулу суммы арифметической прогрессии: \( S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n \).

\( S_{201} = \frac{1268}{2} \cdot 201 = 634 \cdot 201 \).

\[ 634 \cdot 201 = 634 \cdot (200 + 1) = 634 \cdot 200 + 634 \cdot 1 = 126800 + 634 = 127434 \]

Ответ: 127434