1. Найдите значение выражения: 1) $8\cdot 8^{\log_8 6}$; 2) $9^{\log_3 2}$; 3) $\log_{0,2}125$; 4) $\log_{0,5}32$; 5) $(\log_6 216)\cdot(\log_9 729)$; 6) $\log_6 54-\log_6 1,5$; 7) $\log_{25}25+\log_{0,2}625$; 8) $\log_8 80-\log_8 1,25$; 9) $3\log_2 5+\log_2 4$; 10) $\log_3 54-\log_3 2+\log_3\frac{1}{9}$; 11) $\frac{\log_6 4}{\log_6 2}$; 12) $\frac{\log_7 2}{\log_{49}2}$; 13) $\log_{0,4}9\cdot\log_9 2,5$; 14) $\frac{6^{\log_{12}432}}{6^{\log_{12}3}}$; 15) $(1-\log_4 36)(1-\log_2 36)$; 16) $9\cdot\log_2\sqrt[8]{2}$; 17) $\log_{\sqrt{15}}3375$; 18) $2^{\log_4 16}$; 19) $9^{2\log_9 8}$; 20) $\log_{16}(\log_2 16)$; 21) $\frac{\log_4 80}{2+\log_4 5}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 1. Найдите значение выражения: 1) $8\cdot 8^{\log_8 6}$; 2) $9^{\log_3 2}$; 3) $\log_{0,2}125$; 4) $\log_{0,5}32$; 5)…$ Фото задания

1. Найдите значение выражения: 1) $8\cdot 8^{\log_8 6}$; 2) $9^{\log_3 2}$; 3) $\log_{0,2}125$; 4) $\log_{0,5}32$; 5) $(\log_6 216)\cdot(\log_9 729)$; 6) $\log_6 54-\log_6 1,5$; 7) $\log_{25}25+\log_{0,2}625$; 8) $\log_8 80-\log_8 1,25$; 9) $3\log_2 5+\log_2 4$; 10) $\log_3 54-\log_3 2+\log_3\frac{1}{9}$; 11) $\frac{\log_6 4}{\log_6 2}$; 12) $\frac{\log_7 2}{\log_{49}2}$; 13) $\log_{0,4}9\cdot\log_9 2,5$; 14) $\frac{6^{\log_{12}432}}{6^{\log_{12}3}}$; 15) $(1-\log_4 36)(1-\log_2 36)$; 16) $9\cdot\log_2\sqrt[8]{2}$; 17) $\log_{\sqrt{15}}3375$; 18) $2^{\log_4 16}$; 19) $9^{2\log_9 8}$; 20) $\log_{16}(\log_2 16)$; 21) $\frac{\log_4 80}{2+\log_4 5}$.

Accepted Answer

По свойству степеней: $8\cdot8^{\log_8 6}=8^{1+\log_8 6}=8\cdot6=48$.
$9^{\log_3 2}=(3^2)^{\log_3 2}=2^2=4$.
Так как $0,2=5^{-1}$ и $125=5^3$, получаем $\log_{0,2}125=-3$.
Так как $0,5=2^{-1}$ и $32=2^5$, получаем $\log_{0,5}32=-5$.
$\log_6 216=3$, $\log_9 729=3$; произведение равно $9$.
$\log_6 54-\log_6 1,5=\log_6(54:1,5)=\log_6 36=2$.
$\log_{25}25=1$, а $625=5^4=(0,2)^{-4}$, поэтому выражение равно $1-4=-3$.
$\log_8 80-\log_8 1,25=\log_8(80:1,25)=\log_8 64=2$.
$3\log_2 5+\log_2 4=\log_2 125+\log_2 4=\log_2 500$.
Объединяем логарифмы: $\log_3\frac{54}{2}\cdot\frac{1}{9}=\log_3 3=1$.
По формуле перехода к новому основанию, $\frac{\log_6 4}{\log_6 2}=\log_2 4=2$.
$\log_{49}2=\frac12\log_7 2$, значит дробь равна $2$.
По формуле перехода к новому основанию: $\log_{0,4}9\cdot\log_9 2,5=\log_{0,4}2,5=-1$.
$\frac{6^{\log_{12}432}}{6^{\log_{12}3}}=6^{\log_{12}(432/3)}=6^{\log_{12}144}=6^2=36$.
Пусть $x=\log_2 6$. Тогда $\log_4 36=x$, а $\log_2 36=2x$. Поэтому выражение равно $(1-x)(1-2x)$, где $x=\log_2 6$.
$\log_2\sqrt[8]{2}=\frac18$, поэтому $9\cdot\frac18=\frac98$.
$3375=15^3$, а $\sqrt{15}=15^{1/2}$; следовательно, $\log_{\sqrt{15}}3375=3/(1/2)=6$.
$2^{\log_4 16}=2^2=4$.
$9^{2\log_9 8}=(9^{\log_9 8})^2=8^2=64$.
$\log_2 16=4$, поэтому $\log_{16}(\log_2 16)=\log_{16}4=\frac12$.
$\log_4 80=\log_4(16\cdot5)=2+\log_4 5$, поэтому дробь равна $1$.

Ответ: 1) 48; 2) 4; 3) −3; 4) −5; 5) 9; 6) 2; 7) −3; 8) 2; 9) $\log_2 500$; 10) 1; 11) 2; 12) 2; 13) −1; 14) 36; 15) $(1-\log_2 6)(1-2\log_2 6)$; 16) $\frac98$; 17) 6; 18) 4; 19) 64; 20) $\frac12$; 21) 1.