1. Найдите значение выражения 21^7 * 7^3 * 3^5 2. Решите уравнение sin^2x + sinx - 2 = 0 3. Найдите область определения функции y = log(4-5x) 4. Решить уравнение x - 6 = sqrt(2x + 12) 5. Решите уравнение 9^x - 8 * 3^x - 9 = 0 6. Найдите промежутки возрастания функции y = x^2 - 6x^2 + 9x + 17 7. Вычислите значение выражения log_12 - log_15 + log_20 8. Найдите первообразную функции f(x) = 4x + 1/x^2, график которой проходит через точку M(-1; 4) 9. Высота треугольника делит сторону на отрезки в 4см и 8см. Найдите стороны треугольника, если известно, что разница остальных сторон треугольника равна 2см 10. Угол между высотой конуса и его образующей равен 60°. Найдите площадь полной поверхности конуса.

Решение:

1. Вычисление значения выражения:

1. Представим 21 как произведение 3 и 7: \( 21^7 = (3 · 7)^7 = 3^7 · 7^7 \).
2. Перепишем выражение: \( 3^7 · 7^7 · 7^3 · 3^5 \).
3. Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями: \( (3^7 · 3^5) · (7^7 · 7^3) \).
4. Сложим показатели степеней: \( 3^{7+5} · 7^{7+3} = 3^{12} · 7^{10} \).

Ответ: \( 3^{12} · 7^{10} \).

2. Решение уравнения sin^2x + sinx - 2 = 0:

1. Введём замену: пусть \( t = · · · \).
2. Тогда уравнение примет вид: \( t^2 + t - 2 = 0 \).
3. Решим квадратное уравнение: \( t_1 = 1 \), \( t_2 = -2 \).
4. Вернёмся к замене:
• \( · · · = 1 \)
• \( · · · = -2 \) (это уравнение не имеет решений, так как \( -1 ≤ · · · · · · · · · · \)).
5. Общее решение: \( x = · · · + 2··· \).

Ответ: \( x = · · · + 2··· \).

3. Область определения функции y = log(4-5x):

1. Логарифмическая функция определена, когда её аргумент строго больше нуля.
2. Составим неравенство: \( 4 - 5x > 0 \).
3. Решим неравенство: \( -5x > -4 \) \( · · · \) \( x < · · · \).

Ответ: \( x < · · · \) или \( (-·, ·) \).

4. Решение уравнения x - 6 = sqrt(2x + 12):

1. Перенесём 6 в правую часть: \( x = · · · + 6 \).
2. Возведём обе части уравнения в квадрат: \( x^2 = (6 + · · ·)^2 \).
3. Раскроем скобки и приведём подобные члены.
4. Получим квадратное уравнение и решим его.
5. Проверим полученные корни, подставив их в исходное уравнение.

Ответ: \( x = · · · \).

5. Решение уравнения 9^x - 8 * 3^x - 9 = 0:

1. Представим \( 9^x \) как \( (3^2)^x = (3^x)^2 \).
2. Введём замену: пусть \( t = 3^x \).
3. Уравнение примет вид: \( t^2 - 8t - 9 = 0 \).
4. Решим квадратное уравнение: \( t_1 = 9 \), \( t_2 = -1 \).
5. Вернёмся к замене:
• \( 3^x = 9 \) \( · · · \) \( x = 2 \).
• \( 3^x = -1 \) (это уравнение не имеет решений, так как \( 3^x > 0 \)).

Ответ: \( x = 2 \).

6. Промежутки возрастания функции y = x^2 - 6x^2 + 9x + 17:

1. Упростим функцию: \( y = -5x^2 + 9x + 17 \).
2. Найдем производную функции: \( y' = -10x + 9 \).
3. Чтобы найти промежутки возрастания, приравняем производную к нулю: \( -10x + 9 = 0 \).
4. Решим уравнение: \( x = · · · \).
5. Производная \( y' \) положительна, когда \( -10x + 9 > 0 \), то есть \( x < · · · \).

Ответ: функция возрастает на интервале \( (-·, ·) \).

7. Вычисление значения выражения log_12 - log_15 + log_20:

1. Используем свойства логарифмов: \( · · · \).
2. \( · · · \)

Ответ: \( · · · \).

8. Нахождение первообразной функции f(x) = 4x + 1/x^2:

1. Найдём первообразную для \( 4x \): \( 4 · · · + C_1 \).
2. Найдём первообразную для \( 1/x^2 \), что равно \( x^{-2} \): \( · · · + C_2 \).
3. Общая первообразная \( F(x) = · · · + C \).
4. Используем условие, что график проходит через точку \( M(-1; 4) \): \( F(-1) = 4 \).
5. Подставим значения и найдём \( C \).

Ответ: \( F(x) = · · · \).

9. Стороны треугольника:

1. Пусть одна сторона равна \( a \), а две другие \( b \) и \( c \).
2. По условию, высота делит сторону \( a \) на отрезки 4 см и 8 см. Следовательно, \( a = 4 + 8 = 12 \) см.
3. По теореме Пифагора для двух прямоугольных треугольников, образованных высотой:
• \( h^2 + 4^2 = b^2 \)
• \( h^2 + 8^2 = c^2 \)
4. Вычтем первое уравнение из второго: \( (c^2 - b^2) = (h^2 + 64) - (h^2 + 16) = 48 \).
5. Из условия известно, что разница остальных сторон равна 2 см, то есть \( c - b = 2 \) (предполагаем, что \( c > b \)).
6. Теперь у нас есть система уравнений:
• \( c^2 - b^2 = 48 \)
• \( c - b = 2 \)
7. Разложим первое уравнение: \( (c - b)(c + b) = 48 \).
8. Подставим \( c - b = 2 \): \( 2(c + b) = 48 \) \( · · · \) \( c + b = 24 \).
9. Решим систему:
• \( c - b = 2 \)
• \( c + b = 24 \)
10. Сложим уравнения: \( 2c = 26 \) \( · · · \) \( c = 13 \) см.
11. Найдём \( b \): \( b = c - 2 = 13 - 2 = 11 \) см.

Ответ: Стороны треугольника равны 12 см, 11 см и 13 см.

10. Площадь полной поверхности конуса:

1. Угол между высотой (H) и образующей (L) равен 60°.
2. В прямоугольном треугольнике, образованном высотой, радиусом основания (R) и образующей, угол при образующей равен 60°, значит, угол при радиусе равен 30°.
3. Таким образом, \( R = H · · · \) и \( L = H / · · · \).
4. Формула площади полной поверхности конуса: \( S = · · · \).
5. Подставим значения R и L, выраженные через H.

Ответ: \( S = · · · \).