1. Найдите значение выражения $$\frac{1}{4}x^3 + 3y^2$$ при $$x = -2$$ и $$y = -1$$. 2. Решите систему уравнений $$\begin{cases} x + 2y = 11 \ 5x - 3y = 3 \end{cases}$$. 3. Разложите на множители: a) $$3x^2 - 30x + 75$$; б) $$3a^2 - 3b^2 - a + b$$. 4. Пешеход рассчитал, что, двигаясь с определённой скоростью, намеченный путь он пройдёт за 2,5 ч. Но он шёл со скоростью, превышающей намеченную на 1 км/ч, поэтому прошёл путь за 2 ч. Найдите длину пути. 5. Решите уравнение: a) $$\frac{4x + 8}{3} - \frac{2x - 3}{4} = 1$$; б) $$5x - 6x^2 = 0$$. 6. Решите графически уравнение $$x^2 = 3 - 2x$$. 1. Найдите значение выражения $$\frac{1}{5}a^2 + 8b^3$$ при $$a = -5$$ и $$b = -\frac{1}{2}$$.

Вариант 1

Задание 1. Найти значение выражения

Дано:

• Выражение: $$\frac{1}{4}x^3 + 3y^2$$.
• $$x = -2$$.
• $$y = -1$$.

Решение:

1. Подставим значения $$x$$ и $$y$$ в выражение: \[ \frac{1}{4}(-2)^3 + 3(-1)^2 \]
2. Вычислим степени: \[ \frac{1}{4}(-8) + 3(1) \]
3. Выполним умножение: \[ -2 + 3 \]
4. Сложим: \[ 1 \]

Ответ: 1.

Задание 2. Решить систему уравнений

Дано:

• Система уравнений: $$\begin{cases} x + 2y = 11 \ 5x - 3y = 3 \end{cases}$$

Решение:

Воспользуемся методом подстановки.

1. Выразим $$x$$ из первого уравнения: \[ x = 11 - 2y \]
2. Подставим это выражение во второе уравнение: \[ 5(11 - 2y) - 3y = 3 \]
3. Раскроем скобки: \[ 55 - 10y - 3y = 3 \]
4. Приведём подобные члены: \[ 55 - 13y = 3 \]
5. Вычтем 55 из обеих частей: \[ -13y = 3 - 55 \]
6. Получим: \[ -13y = -52 \]
7. Разделим на -13: \[ y = \frac{-52}{-13} = 4 \]
8. Теперь найдём $$x$$, подставив значение $$y$$ в первое уравнение: \[ x = 11 - 2(4) = 11 - 8 = 3 \]

Ответ: $$x=3$$, $$y=4$$.

Задание 3. Разложить на множители

а) $$3x^2 - 30x + 75$$

1. Вынесем общий множитель 3: \[ 3(x^2 - 10x + 25) \]
2. Выражение в скобках является полным квадратом разности: $$(x - 5)^2$$.

Ответ: $$3(x - 5)^2$$.

б) $$3a^2 - 3b^2 - a + b$$

1. Сгруппируем члены: \( (3a^2 - 3b^2) - (a - b) \)
2. Вынесем общий множитель 3 из первой группы: \( 3(a^2 - b^2) - (a - b) \)
3. Разложим разность квадратов: \( 3(a - b)(a + b) - (a - b) \)
4. Вынесем общий множитель $$(a - b)$$: \( (a - b)(3(a + b) - 1) \)
5. Упростим выражение в скобках: \( (a - b)(3a + 3b - 1) \)

Ответ: $$(a - b)(3a + 3b - 1)$$.

Задание 4. Задача на движение

Дано:

• Время по плану: $$t_1 = 2,5$$ ч.
• Время по факту: $$t_2 = 2$$ ч.
• Скорость по факту больше намеченной на 1 км/ч.

Найти: длину пути $$S$$.

Решение:

1. Пусть $$v$$ — намеченная скорость пешехода (км/ч). Тогда скорость по факту: $$v + 1$$ (км/ч).
2. Длина пути по плану: $$S = v \times t_1 = v \times 2,5$$.
3. Длина пути по факту: $$S = (v + 1) \times t_2 = (v + 1) \times 2$$.
4. Так как длина пути одинакова, приравняем выражения: \[ 2,5v = 2(v + 1) \]
5. Раскроем скобки: \[ 2,5v = 2v + 2 \]
6. Вычтем $$2v$$ из обеих частей: \[ 0,5v = 2 \]
7. Разделим на 0,5: \[ v = \frac{2}{0,5} = 4 \] км/ч (намеченная скорость).
8. Теперь найдём длину пути: \[ S = v \times 2,5 = 4 \times 2,5 = 10 \] км.
9. Проверим по второй скорости: $$v + 1 = 4 + 1 = 5$$ км/ч. $$S = 5 \times 2 = 10$$ км.

Ответ: 10 км.

Задание 5. Решить уравнение

а) $$\frac{4x + 8}{3} - \frac{2x - 3}{4} = 1$$

1. Приведём дроби к общему знаменателю 12: \[ \frac{4(4x + 8)}{12} - \frac{3(2x - 3)}{12} = 1 \]
2. Выполним вычитание числителей: \[ \frac{16x + 32 - (6x - 9)}{12} = 1 \]
3. Раскроем скобки: \[ \frac{16x + 32 - 6x + 9}{12} = 1 \]
4. Упростим числитель: \[ \frac{10x + 41}{12} = 1 \]
5. Умножим обе части на 12: \[ 10x + 41 = 12 \]
6. Вычтем 41 из обеих частей: \[ 10x = 12 - 41 \]
7. Получим: \[ 10x = -29 \]
8. Разделим на 10: \[ x = -2,9 \]

Ответ: $$x = -2,9$$.

б) $$5x - 6x^2 = 0$$

1. Вынесем общий множитель $$x$$: \[ x(5 - 6x) = 0 \]
2. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:
• $$x = 0$$
• или $$5 - 6x = 0 \rightarrow 6x = 5 \rightarrow x = \frac{5}{6}$$

Ответ: $$x = 0$$, $$x = \frac{5}{6}$$.

Задание 6. Решить графически уравнение

Уравнение: $$x^2 = 3 - 2x$$

Перенесём всё в одну сторону, чтобы получить $$f(x) = 0$$:

$$x^2 + 2x - 3 = 0$$

Теперь построим график функции $$y = x^2 + 2x - 3$$. Это парабола, ветви вверх.

Найдём вершину параболы:

$$x_в = \frac{-b}{2a} = \frac{-2}{2(1)} = -1$$.

$$y_в = (-1)^2 + 2(-1) - 3 = 1 - 2 - 3 = -4$$.

Вершина в точке $$(-1, -4)$$.

Найдём точки пересечения с осью X (нули функции):

$$x^2 + 2x - 3 = 0$$

По теореме Виета: $$x_1 + x_2 = -2$$, $$x_1 \times x_2 = -3$$.

$$x_1 = 1$$, $$x_2 = -3$$.

Точки пересечения с осью X: $$(1, 0)$$ и $$(-3, 0)$$.

Построим график:

График пересекает ось X в точках $$x = 1$$ и $$x = -3$$. Это и есть корни уравнения.

Ответ: $$x = 1$$, $$x = -3$$.

Вариант 2

Задание 1. Найти значение выражения

Дано:

• Выражение: $$\frac{1}{5}a^2 + 8b^3$$.
• $$a = -5$$.
• $$b = -\frac{1}{2}$$.

Решение:

1. Подставим значения $$a$$ и $$b$$ в выражение: \[ \frac{1}{5}(-5)^2 + 8(-\frac{1}{2})^3 \]
2. Вычислим степени: \[ \frac{1}{5}(25) + 8(-\frac{1}{8}) \]
3. Выполним умножение: \[ 5 - 1 \]
4. Вычтем: \[ 4 \]

Ответ: 4.