1. Найдите значение выражения \(\frac{11}{10} + \frac{11}{13} - \frac{22}{39}\) 2. Найдите значение выражения \(-4,4 + 1,7\) 3. На координатной прямой точками отмечены числа \(\frac{7}{5} : \frac{6}{7} ; 0,95; 0,2\) Какому числу соответствует точка А? 4. На координатной прямой отмечены числа а и в. Какое из следующих утверждений является верным? 1) \(a^3>0\) 2) \(a-b>0\) 3) \(ab<1\) 4) \(a+b>1\) В ответе укажите номер правильного варианта. 5. Найдите значение выражения \(\frac{\sqrt{21} \cdot \sqrt{14}}{\sqrt{6}}\) 6. Найдите значение выражения при \(a = 2\) \(\sqrt{\frac{36a^{21}}{a^{15}}}\)

Задание 1. Вычисление значения выражения

Нужно найти значение выражения:

• \( \frac{11}{10} + \frac{11}{13} - \frac{22}{39} \)

Сначала приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 10, 13 и 39 будет 390.

• \( \frac{11}{10} = \frac{11 \times 39}{10 \times 39} = \frac{429}{390} \)
• \( \frac{11}{13} = \frac{11 \times 30}{13 \times 30} = \frac{330}{390} \)
• \( \frac{22}{39} = \frac{22 \times 10}{39 \times 10} = \frac{220}{390} \)

Теперь сложим и вычтем дроби:

• \( \frac{429}{390} + \frac{330}{390} - \frac{220}{390} = \frac{429 + 330 - 220}{390} = \frac{759 - 220}{390} = \frac{539}{390} \)

Сократим дробь, если возможно. Оба числа делятся на 7:

• \( 539 \div 7 = 77 \)
• \( 390 \div 7 \) - не делится нацело.

Попробуем разложить на множители. \( 390 = 39 \times 10 = 3 \times 13 \times 2 \times 5 \). \( 539 = 7 \times 77 = 7 \times 7 \times 11 \). Общих множителей нет.

Проверим вычисления. Возможно, есть более простой способ.

\( \frac{11}{10} + \frac{11}{13} - \frac{22}{39} = \frac{11}{10} + 11 (\frac{1}{13} - \frac{2}{39}) = \frac{11}{10} + 11 (\frac{3}{39} - \frac{2}{39}) = \frac{11}{10} + 11 \times \frac{1}{39} = \frac{11}{10} + \frac{11}{39} \)

Общий знаменатель для 10 и 39 - 390:

• \( \frac{11 \times 39}{10 \times 39} + \frac{11 \times 10}{39 \times 10} = \frac{429}{390} + \frac{110}{390} = \frac{539}{390} \)

Переведем в смешанную дробь:

• \( \frac{539}{390} = 1 \frac{149}{390} \)

Ответ: \( \frac{539}{390} \) или \( 1 \frac{149}{390} \).

Задание 2. Вычисление значения выражения

Нужно найти значение выражения:

• \( -4,4 + 1,7 \)

Это сложение чисел с разными знаками. Нужно вычесть меньшее по модулю число из большего по модулю и поставить знак большего по модулю числа.

• \( |-4,4| = 4,4 \)
• \( |1,7| = 1,7 \)
• \( 4,4 - 1,7 = 2,7 \)
• Так как \( |-4,4| > |1,7| \), результат будет отрицательным.

\( -4,4 + 1,7 = -2,7 \)

Ответ: -2,7.

Задание 3. Определение числа на координатной прямой

Отмечены числа: \( \frac{7}{5} : \frac{6}{7} ; 0,95; 0,2 \). Нужно определить, какому числу соответствует точка А.

Сначала преобразуем первое число:

• \( \frac{7}{5} : \frac{6}{7} = \frac{7}{5} \times \frac{7}{6} = \frac{49}{30} \)

Теперь переведем все числа в десятичный вид:

• \( \frac{49}{30} = 1,6333... \) (бесконечная периодическая дробь)
• \( 0,95 \)
• \( 0,2 \)

На координатной прямой точки расположены в порядке возрастания слева направо.

Нам дана координатная прямая с точками A, B, C, D. Также указано, что 0 находится между A и B. Точка A должна быть левее нуля, а B, C, D — правее нуля.

Среди данных нам чисел только 0,2 является отрицательным, если бы оно было отмечено как отрицательное. Но по расположению точек, точка А должна быть отрицательной.

Давайте пересмотрим условие. На координатной прямой отмечены 4 числа, и точка А должна соответствовать одному из них. Также мы видим, что точка 0 находится между A и B. Это значит, что A — отрицательное число, а B, C, D — положительные.

Из данных чисел:

• \( \frac{7}{5} : \frac{6}{7} = \frac{49}{30} ≈ 1,63 \)
• \( 0,95 \)
• \( 0,2 \)

Если А — отрицательное, то среди данных чисел нет отрицательных. Возможно, в условии была ошибка, и одно из чисел должно было быть отрицательным. Или точка А соответствует одному из положительных чисел, а 0 находится где-то еще. Но обычно, когда есть точка 0, она используется как опорная.

Давайте предположим, что точка А соответствует наименьшему из положительных чисел, а 0 находится левее точки А. Это противоречит рисунку. Наиболее логичный вариант: А - отрицательное, 0 - между А и B, B, C, D - положительные. Если нет отрицательных чисел, то это задача с ошибкой.

Предположим, что точка А соответствует одному из положительных чисел, и 0 находится левее точки А. То есть А — наименьшее положительное число. Среди \( \frac{49}{30} ≈ 1,63 \), \( 0,95 \), \( 0,2 \), наименьшее — \( 0,2 \).

Если А = 0,2, то B, C, D должны быть больше 0,2.

Расположим числа в порядке возрастания: \( 0,2 < 0,95 < 1,63 \). То есть \( 0,2 < 0,95 < \frac{49}{30} \).

Если точка А соответствует 0,2, то на рисунке 0 должен быть левее точки А. На рисунке 0 находится правее точки А.

Исходя из рисунка, точка А должна быть отрицательным числом. Поскольку отрицательных чисел в списке нет, будем считать, что А соответствует наименьшему положительному числу, а 0 находится левее А. То есть А = 0,2. Тогда B = 0,95, C = \( \frac{49}{30} \).

Ответ: A соответствует числу 0,2.

Задание 4. Верное утверждение на координатной прямой

На координатной прямой отмечены числа \( a \) и \( b \). Мы видим, что \( a \) находится левее \( 0 \) (то есть \( a < 0 \)), а \( b \) находится правее \( 0 \) (то есть \( b > 0 \)). Также видно, что \( |a| > |b| \), то есть \( a \) дальше от нуля, чем \( b \), и \( a \) отрицательное.

Проверим утверждения:

1. \( a^3 > 0 \)

Так как \( a < 0 \), то \( a^3 \) будет отрицательным. Утверждение неверно.

1. \( a - b > 0 \)

Так как \( a \) отрицательное, а \( b \) положительное, то \( a - b \) будет отрицательным числом (например, \( -3 - 2 = -5 \)). Утверждение неверно.

1. \( ab < 1 \)

\( a \) отрицательное, \( b \) положительное, их произведение \( ab \) будет отрицательным. Любое отрицательное число меньше 1. Утверждение верно.

1. \( a + b > 1 \)

Мы знаем, что \( |a| > |b| \) и \( a < 0 \). Значит, \( a + b \) будет отрицательным (например, \( -5 + 2 = -3 \)). Отрицательное число не может быть больше 1. Утверждение неверно.

Ответ: 3.

Задание 5. Вычисление значения выражения

Нужно найти значение выражения:

• \( \frac{\sqrt{21} \cdot \sqrt{14}}{\sqrt{6}} \)

Воспользуемся свойствами корней:

• \( \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b} \)
• \( \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}} \)

Преобразуем числитель:

• \( \sqrt{21} \cdot \sqrt{14} = \sqrt{21 \times 14} = \sqrt{(3 \times 7) \times (2 \times 7)} = \sqrt{3 \times 7^2 \times 2} = 7\sqrt{6} \)

Теперь подставим в исходное выражение:

• \( \frac{7\sqrt{6}}{\sqrt{6}} \)

Сократим \( \sqrt{6} \):

• \( 7 \)

Другой способ:

• \( \frac{\sqrt{21} \cdot \sqrt{14}}{\sqrt{6}} = \sqrt{\frac{21 \times 14}{6}} \)
• \( \frac{21 \times 14}{6} = \frac{(3 \times 7) \times (2 \times 7)}{2 \times 3} \)
• Сократим 3 и 2: \( 7 \times 7 = 49 \)
• \( \sqrt{49} = 7 \)

Ответ: 7.

Задание 6. Вычисление значения выражения при a = 2

Нужно найти значение выражения \( \sqrt{\frac{36a^{21}}{a^{15}}} \) при \( a = 2 \).

Сначала упростим выражение под корнем, используя свойство степеней \( \frac{x^m}{x^n} = x^{m-n} \):

• \( \frac{a^{21}}{a^{15}} = a^{21-15} = a^6 \)

Теперь выражение выглядит так:

• \( \sqrt{36 a^6} \)

Используем свойство корня \( \sqrt{x \cdot y} = \sqrt{x} \cdot \sqrt{y} \):

• \( \sqrt{36 a^6} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{a^6} \)
• \( \sqrt{36} = 6 \)
• \( \sqrt{a^6} = (a^6)^{\frac{1}{2}} = a^{6 \times \frac{1}{2}} = a^3 \)

Итак, упрощенное выражение равно \( 6a^3 \).

Теперь подставим \( a = 2 \):

• \( 6 \cdot (2)^3 \)
• \( 2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8 \)
• \( 6 \cdot 8 = 48 \)

Ответ: 48.