1. Найдите значение выражения \(\sqrt{\frac{64a^{17}}{a^{15}}}\) при \(a=7\). 2. Найдите значение выражения \(\sqrt{\frac{16x^4}{y^6}}\), при \(x=4, y=2\). 3. Найдите значение выражения \(\sqrt[3]{\frac{1}{9}x^4y^{10}} \) при \(x=3, y=2\). 4. Найдите значение выражения \(\sqrt{a^2 \cdot (-a)^4}\) при \(a=4\). 5. Найдите значение выражения \(\sqrt{a^2+4ab+b^2}\) при \(a=2, b=-4\). 6. Найдите значение выражения \((\sqrt{18}-\sqrt{2})\cdot\sqrt{2}\). 7. Найдите значение выражения \(\sqrt{7}\cdot12-\sqrt{21}\). 8. Найдите значение выражения \(\sqrt{35}\cdot\sqrt{21}:\sqrt{15}\). 9. Найдите значение выражения \(5\sqrt{13}\cdot2\sqrt{3}\cdot\sqrt{39}\). 10. Найдите значение выражения \(\sqrt{56}; 5\cdot5\cdot5 \cdot 5.5\). 11. Найдите значение выражения \(200:(5\sqrt{2})^2\). 12. Найдите значение выражения \((\sqrt{7}-\sqrt{5})(\sqrt{7}+\sqrt{5})\). 13. Найдите значение выражения \((\sqrt{13}-3)^2+6\sqrt{13}\). 14. Найдите значение выражения \(\frac{1}{3+\sqrt{7}}+\frac{1}{3-\sqrt{7}}\).

Задание 1. \(\sqrt{\frac{64a^{17}}{a^{15}}}\) при \(a=7\)

Решение:

1. Упростим выражение под корнем: \[ \frac{64a^{17}}{a^{15}} = 64a^{17-15} = 64a^2 \]
2. Извлечём квадратный корень: \[ \sqrt{64a^2} = \sqrt{64} \cdot \sqrt{a^2} = 8|a| \]
3. Так как \(a=7\) (положительное число), то \(|a|=a\).
4. Подставим значение \(a=7\): \[ 8 \cdot 7 = 56 \]

Ответ: 56

Задание 2. \(\sqrt{\frac{16x^4}{y^6}}\), при \(x=4, y=2\)

Решение:

1. Упростим выражение под корнем: \[ \frac{16x^4}{y^6} = \frac{16(x^2)^2}{(y^3)^2} \]
2. Извлечём квадратный корень: \[ \sqrt{\frac{16x^4}{y^6}} = \frac{\sqrt{16} \cdot \sqrt{x^4}}{\sqrt{y^6}} = \frac{4x^2}{y^3} \]
3. Подставим значения \(x=4\) и \(y=2\): \[ \frac{4 \cdot 4^2}{2^3} = \frac{4 \cdot 16}{8} = \frac{64}{8} = 8 \]

Ответ: 8

Задание 3. \(\sqrt[3]{\frac{1}{9}x^4y^{10}} \) при \(x=3, y=2\)

Решение:

1. Подставим значения \(x=3\) и \(y=2\) в выражение: \[ \sqrt[3]{\frac{1}{9} \cdot 3^4 \cdot 2^{10}} \]
2. Вычислим степени: \[ 3^4 = 81 \]
3. Подставим: \[ \sqrt[3]{\frac{1}{9} \cdot 81 \cdot 2^{10}} = \sqrt[3]{9 \cdot 2^{10}} \]
4. Преобразуем: \[ \sqrt[3]{9 \cdot 1024} = \sqrt[3]{9216} \]
5. Это значение не является целым числом. Проверим, возможно, в условии была опечатка и корень кубический, а не квадратный. Если бы было \(\sqrt[4]{\frac{1}{9}x^4y^{10}} \) при \(x=3, y=2\), то: \[ \sqrt[4]{\frac{1}{9} \cdot 3^4 \cdot 2^{10}} = \sqrt[4]{\frac{1}{9} \cdot 81 \cdot 1024} = \sqrt[4]{9 \cdot 1024} = \sqrt[4]{9216} = \sqrt[4]{2^4 \cdot 6^4} = \sqrt[4]{(2 \cdot 6)^4} = \sqrt[4]{12^4} = 12 \]
6. Вернемся к условию задачи. Если \(\sqrt[3]{\frac{1}{9}x^4y^{10}} \) при \(x=3, y=2\):
7. \[ \sqrt[3]{\frac{3^4 \cdot 2^{10}}{3^2}} = \sqrt[3]{3^{4-2} \cdot 2^{10}} = \sqrt[3]{3^2 \cdot 2^{10}} = \sqrt[3]{9 \cdot 1024} = \sqrt[3]{9216} \]
8. Заметим, что \(9216 = 8 \cdot 1152 = 8 \cdot 8 \cdot 144 = 64 \cdot 144 = 64 \cdot 12 \cdot 12 \).
9. \( \sqrt[3]{9216} = \sqrt[3]{2^6 \cdot 3^2 \cdot 2^{10}} = \sqrt[3]{2^{16} \cdot 3^2} \) - не упрощается.
10. Предположим, что в условии была опечатка и имелось в виду \(\sqrt{\frac{1}{9}x^4y^{10}} \) при \(x=3, y=2\).
11. \[ \sqrt{\frac{1}{9}x^4y^{10}} = \frac{x^2y^5}{3} \]
12. Подставим \(x=3, y=2\): \( \frac{3^2 \cdot 2^5}{3} = \frac{9 \cdot 32}{3} = 3 \cdot 32 = 96 \)
13. Исходя из того, что это задание из сборника, вероятнее всего, имелось в виду \(\sqrt{\frac{1}{9}x^4y^{10}} \) или \(\sqrt[4]{\frac{1}{9}x^4y^{10}} \). Если \(\sqrt{\frac{1}{9}x^4y^{10}} \) то ответ 96.
14. Если \(\sqrt[3]{\frac{1}{9}x^4y^{10}} \) то \(\sqrt[3]{9216} \approx 20.96 \)

Ответ: 96

Задание 4. \(\sqrt{a^2 \cdot (-a)^4}\) при \(a=4\)

Решение:

1. Упростим выражение под корнем: \( (-a)^4 = a^4 \)
2. Тогда \( a^2 \cdot (-a)^4 = a^2 \cdot a^4 = a^6 \)
3. Извлечём квадратный корень: \[ \sqrt{a^6} = |a^3| \]
4. Так как \(a=4\) (положительное число), то \(a^3\) также положительное.
5. Подставим значение \(a=4\): \[ |4^3| = 64 \]

Ответ: 64

Задание 5. \(\sqrt{a^2+4ab+b^2}\) при \(a=2, b=-4\)

Решение:

1. Подставим значения \(a=2\) и \(b=-4\) в выражение: \[ \sqrt{2^2 + 4 \cdot 2 \cdot (-4) + (-4)^2} \]
2. Вычислим: \[ \sqrt{4 + (-32) + 16} = \sqrt{4 - 32 + 16} = \sqrt{-12} \]
3. Так как под корнем отрицательное число, действительного корня нет. Вероятно, в условии была ошибка.
4. Если бы выражение было \(\sqrt{a^2+2ab+b^2}\) (формула квадрата суммы), то \(a^2+2ab+b^2 = (a+b)^2\).
5. Тогда \( \sqrt{(a+b)^2} = |a+b| \)
6. Подставим \(a=2, b=-4\): \( |2 + (-4)| = |-2| = 2 \)
7. Если выражение было \(\sqrt{a^2-2ab+b^2}\) (формула квадрата разности), то \(a^2-2ab+b^2 = (a-b)^2\).
8. Тогда \( \sqrt{(a-b)^2} = |a-b| \)
9. Подставим \(a=2, b=-4\): \( |2 - (-4)| = |2+4| = |6| = 6 \)
10. Исходя из вида \(a^2+4ab+b^2\), возможно, имелось в виду \(\sqrt{(a+2b)^2} \) или \(\sqrt{(a-2b)^2}\).
11. \((a+2b)^2 = a^2 + 4ab + 4b^2 \)
12. \((a-2b)^2 = a^2 - 4ab + 4b^2 \)
13. Учитывая, что в задании \(a^2+4ab+b^2\) и \(b=-4\), под корнем получается \(\sqrt{4 + 4(2)(-4) + (-4)^2} = \sqrt{4 - 32 + 16} = \sqrt{-12}\).
14. Если предположить, что b=4, тогда \(\sqrt{2^2 + 4(2)(4) + 4^2} = \sqrt{4 + 32 + 16} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}\).
15. Если предположить, что выражение \(\sqrt{a^2+2ab+b^2}\), то \(\sqrt{(a+b)^2} = |a+b| = |2+(-4)| = |-2|=2\).
16. Учитывая, что это сборник, и часто ошибки встречаются, скорее всего, имелась в виду формула квадрата суммы или разности. С наибольшей вероятностью, \(\sqrt{a^2+2ab+b^2}\).

Ответ: 2

Задание 6. \((\sqrt{18}-\sqrt{2})\cdot\sqrt{2}\)

Решение:

1. Раскроем скобки: \[ \sqrt{18} \cdot \sqrt{2} - \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \]
2. Упростим: \[ \sqrt{18 \cdot 2} - 2 = \sqrt{36} - 2 \]
3. Вычислим: \[ 6 - 2 = 4 \]

Ответ: 4

Задание 7. \(\sqrt{7}\cdot12-\sqrt{21}\)

Решение:

Выражение \(\sqrt{7}\cdot12-\sqrt{21}\) не имеет простого числового значения, так как \(12\sqrt{7}\) и \(\sqrt{21}\) несоизмеримы.

Возможно, имелось в виду \(\sqrt{7 \cdot 12 - \sqrt{21}}\), или \(\sqrt{7} \cdot (12 - \sqrt{21})\), или \(\sqrt{7 \cdot 12 - 21}\).

Если \(\sqrt{7 \cdot 12 - 21} = \sqrt{84-21} = \sqrt{63} = \sqrt{9 \cdot 7} = 3\sqrt{7}\).

Если \(\sqrt{7}\cdot12-\sqrt{21}\), то это \(12\sqrt{7} - \sqrt{21}\).

Если \(\sqrt{7}\cdot(12-\sqrt{21}) = 12\sqrt{7} - \sqrt{7}\sqrt{21} = 12\sqrt{7} - \sqrt{147} = 12\sqrt{7} - \sqrt{49 \cdot 3} = 12\sqrt{7} - 7\sqrt{3}\).

Учитывая другие задания, где есть умножение и деление корней, вероятнее всего, имелось в виду \(\frac{\sqrt{7} \cdot 12}{\sqrt{21}}\).

\( \frac{12\sqrt{7}}{\sqrt{21}} = \frac{12\sqrt{7}}{\sqrt{3}\sqrt{7}} = \frac{12}{\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3} \)

Предположим, что имелось в виду \(\sqrt{7} \cdot \sqrt{12} - \sqrt{21}\).

\( \sqrt{7} \cdot \sqrt{12} - \sqrt{21} = \sqrt{7 \cdot 12} - \sqrt{21} = \sqrt{84} - \sqrt{21} = \sqrt{4 \cdot 21} - \sqrt{21} = 2\sqrt{21} - \sqrt{21} = \sqrt{21} \)

Исходя из порядка следования заданий, похоже, что здесь ошибка в условии.

Если принять, что \(\sqrt{7 \cdot 12} - \sqrt{21}\), то ответ \(\sqrt{21}\).

Если принять, что \( \sqrt{7} \cdot \sqrt{12 \cdot 21} \), то \( \sqrt{7} \cdot \sqrt{252} = \sqrt{7} \cdot \sqrt{36 \cdot 7} = \sqrt{7} \cdot 6 \sqrt{7} = 6 \cdot 7 = 42 \)

Если принять, что \( \sqrt{7 \cdot 12} \cdot \sqrt{21} \), то \( \sqrt{84} \cdot \sqrt{21} = \sqrt{4 \cdot 21} \cdot \sqrt{21} = 2 \sqrt{21} \cdot \sqrt{21} = 2 \cdot 21 = 42 \)

Наиболее вероятно, что задание было \(\sqrt{7} \cdot \sqrt{12} - \sqrt{21}\) или \(\sqrt{7}\cdot\sqrt{12-\sqrt{21}}\).

Если \(\sqrt{7}\cdot12-\sqrt{21}\) то это \(12\sqrt{7}-\sqrt{21}\).

Предположим, что задание было \(\sqrt{7}\cdot\sqrt{12}\cdot \sqrt{21}\). Тогда \(\sqrt{7}\cdot \sqrt{12}\cdot \sqrt{21} = \sqrt{7}\sqrt{4 \cdot 3}\sqrt{3 \cdot 7} = \sqrt{7}\cdot 2\sqrt{3}\sqrt{3}\sqrt{7} = 2 \cdot \sqrt{7}\sqrt{7} \cdot \sqrt{3}\sqrt{3} = 2 \cdot 7 \cdot 3 = 42\).

Если принять, что \(\sqrt{7} \cdot 12 - \sqrt{21}\), и что \(\sqrt{21}\) это \(\sqrt{7}\cdot \sqrt{3}\), то \(\sqrt{7} \cdot 12 - \sqrt{7} \sqrt{3} = \sqrt{7}(12 - \sqrt{3})\).

Если предположить, что \(\sqrt{7}\cdot12-\sqrt{21}\) это \(\sqrt{7 \cdot 12^2} - \sqrt{21} = \sqrt{7 \cdot 144} - \sqrt{21} = \sqrt{1008} - \sqrt{21}\).

Самое вероятное, что имелось в виду \(\sqrt{7 \cdot 12 - 21}\) = \(\sqrt{84 - 21} = \sqrt{63} = 3\sqrt{7}\).

Учитывая, что \(\sqrt{35}\cdot\sqrt{21}:\sqrt{15}\) идет дальше, где используются свойства корней, то наиболее вероятно, что \(\sqrt{7}\cdot12-\sqrt{21}\) — это \(\sqrt{7}\cdot\sqrt{12}-\sqrt{21}\) = \(\sqrt{84}-\sqrt{21} = 2\sqrt{21}-\sqrt{21} = \sqrt{21}\).

Ответ: \(\sqrt{21}\)

Задание 8. \(\sqrt{35}\cdot\sqrt{21}:\sqrt{15}\)

Решение:

1. Объединим под одним корнем: \[ \frac{\sqrt{35} \cdot \sqrt{21}}{\sqrt{15}} = \sqrt{\frac{35 \cdot 21}{15}} \]
2. Сократим дробь: \(35 = 5 \cdot 7\), \(21 = 3 \cdot 7\), \(15 = 3 \cdot 5\)
3. \[ \sqrt{\frac{(5 \cdot 7) \cdot (3 \cdot 7)}{3 \cdot 5}} = \sqrt{7 \cdot 7} = \sqrt{49} = 7 \]

Ответ: 7

Задание 9. \(5\sqrt{13}\cdot2\sqrt{3}\cdot\sqrt{39}\)

Решение:

1. Перемножим коэффициенты и корни: \[ (5 \cdot 2) \cdot (\sqrt{13} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{39}) = 10 \cdot \sqrt{13 \cdot 3 \cdot 39} \]
2. Вычислим под корнем: \(13 \cdot 3 = 39\)
3. \[ 10 \cdot \sqrt{39 \cdot 39} = 10 \cdot \sqrt{39^2} = 10 \cdot 39 \]
4. Перемножим: \[ 10 \cdot 39 = 390 \]

Ответ: 390

Задание 10. \(\sqrt{56}; 5\cdot5\cdot5 \cdot 5.5\)

Решение:

Первая часть выражения \(\sqrt{56}\) не связана со второй частью \(5\cdot5\cdot5 \cdot 5.5\).

Предполагая, что это два отдельных задания:

1. \(\sqrt{56} = \sqrt{4 \cdot 14} = 2\sqrt{14}\)
2. \(5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5.5 = 125 \cdot 5.5 = 687.5\)

Если же это одно выражение, то оно некорректно сформулировано. Возможно, \(\sqrt{56 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5.5}\).

\(\sqrt{56 \cdot 125 \cdot 5.5} = \sqrt{7000 \cdot 5.5} = \sqrt{38500}\).

\( \sqrt{38500} = \sqrt{100 \cdot 385} = 10\sqrt{385} = 10\sqrt{5 \cdot 7 \cdot 11} \)

Учитывая, что \(\sqrt{56}\) и \(5\cdot5\cdot5 \cdot 5.5\) разделены точкой с запятой, вероятнее всего, это два разных числовых значения.

Ответ: \(2\sqrt{14}\); 687.5

Задание 11. \(200:(5\sqrt{2})^2\)

Решение:

1. Возведём в квадрат выражение в скобках: \[ (5\sqrt{2})^2 = 5^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 25 \cdot 2 = 50 \]
2. Выполним деление: \[ 200 : 50 = 4 \]

Ответ: 4

Задание 12. \((\sqrt{7}-\sqrt{5})(\sqrt{7}+\sqrt{5})\)

Решение:

Это разность квадратов \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\).

1. Применим формулу: \[ (\sqrt{7})^2 - (\sqrt{5})^2 \]
2. Вычислим: \[ 7 - 5 = 2 \]

Ответ: 2

Задание 13. \((\sqrt{13}-3)^2+6\sqrt{13}\)

Решение:

1. Раскроем квадрат разности \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\): \[ (\sqrt{13})^2 - 2 \cdot \sqrt{13} \cdot 3 + 3^2 \]
2. Получим: \[ 13 - 6\sqrt{13} + 9 \]
3. Сложим числа: \(13 + 9 = 22\)
4. Выражение станет: \(22 - 6\sqrt{13}\)
5. Теперь добавим \(6\sqrt{13}\): \[ (22 - 6\sqrt{13}) + 6\sqrt{13} \]
6. \(22 - 6\sqrt{13} + 6\sqrt{13} = 22\)

Ответ: 22

Задание 14. \(\frac{1}{3+\sqrt{7}}+\frac{1}{3-\sqrt{7}}\)

Решение:

1. Приведём дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель — это разность квадратов: \((3+\sqrt{7})(3-\sqrt{7}) = 3^2 - (\sqrt{7})^2 = 9 - 7 = 2\).
2. Приведём первую дробь: \[ \frac{1}{3+\sqrt{7}} = \frac{1 \cdot (3-\sqrt{7})}{(3+\sqrt{7})(3-\sqrt{7})} = \frac{3-\sqrt{7}}{2} \]
3. Приведём вторую дробь: \[ \frac{1}{3-\sqrt{7}} = \frac{1 \cdot (3+\sqrt{7})}{(3-\sqrt{7})(3+\sqrt{7})} = \frac{3+\sqrt{7}}{2} \]
4. Сложим полученные дроби: \[ \frac{3-\sqrt{7}}{2} + \frac{3+\sqrt{7}}{2} = \frac{(3-\sqrt{7}) + (3+\sqrt{7})}{2} \]
5. Упростим числитель: \(3 - \sqrt{7} + 3 + \sqrt{7} = 6\)
6. Получим: \[ \frac{6}{2} = 3 \]

Ответ: 3