Контрольные задания > 1. Найдите значения выражения: a) log4(log2 16) б) log, 81 + log, 16 в) log2 224 - log2 7 г) log√[3]112 д) 24+log27 е) 3 log2(1/8) + 10log2(2+1) 2. Решите уравнения: a) log11(7x - 12) = log11 23 б) logos(x² + x) = -1 в) log4(5x + 11) - log4 5 = log4 3 г) log23 x - 2 log3 x = 3 3. Решите неравенства: a) log7(2-x) ≤ log7(3x + 6) б) log1(2x - 5) > -1 в) log3(x² - 3x + 2) ≤ 1 + log3(x - 2) 4. Сравните числа: a) log1/2 1/2 и log1/3 1/3 б) log, 6 и log, 9 5. Решите систему уравнений: {log5(x+y) = 2, qlog √[x-y] = 5
Вопрос:

1. Найдите значения выражения: a) log4(log2 16) б) log, 81 + log, 16 в) log2 224 - log2 7 г) log√[3]112 д) 24+log27 е) 3 log2(1/8) + 10log2(2+1) 2. Решите уравнения: a) log11(7x - 12) = log11 23 б) logos(x² + x) = -1 в) log4(5x + 11) - log4 5 = log4 3 г) log23 x - 2 log3 x = 3 3. Решите неравенства: a) log7(2-x) ≤ log7(3x + 6) б) log1(2x - 5) > -1 в) log3(x² - 3x + 2) ≤ 1 + log3(x - 2) 4. Сравните числа: a) log1/2 1/2 и log1/3 1/3 б) log, 6 и log, 9 5. Решите систему уравнений: {log5(x+y) = 2, qlog √[x-y] = 5

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

1. Найдите значения выражения:

  1. a) \( \log_4(\log_2 16) \)

    2. Сначала вычислим внутренний логарифм: \( \log_2 16 = 4 \) (так как \( 2^4 = 16 \)).

    Затем подставим это значение: \( \log_4(4) \).

    \( \log_4(4) = 1 \) (так как \( 4^1 = 4 \)).

  2. б) \( \log_6 81 + \log_6 16 \)

    3. Используем свойство логарифмов \( \log_a x + \log_a y = \log_a (xy) \):

    \( \log_6 (81 \times 16) = \log_6 1296 \).

    Теперь найдем, в какую степень нужно возвести 6, чтобы получить 1296:

    \( 6^1 = 6 \), \( 6^2 = 36 \), \( 6^3 = 216 \), \( 6^4 = 1296 \).

    Значит, \( \log_6 1296 = 4 \).

  3. в) \( \log_2 224 - \log_2 7 \)

    4. Используем свойство логарифмов \( \log_a x - \log_a y = \log_a (x/y) \):

    \( \log_2 (224 / 7) = \log_2 32 \).

    Найдем, в какую степень нужно возвести 2, чтобы получить 32:

    \( 2^1 = 2 \), \( 2^2 = 4 \), \( 2^3 = 8 \), \( 2^4 = 16 \), \( 2^5 = 32 \).

    Значит, \( \log_2 32 = 5 \).

  4. г) \( \log_{\sqrt[3]{11}} 11^2 \)

    5. Перепишем основание логарифма как степень: \( \sqrt[3]{11} = 11^{1/3} \).

    Теперь используем свойство логарифмов \( \log_{a^m} b^n = \frac{n}{m} \log_a b \):

    \( \log_{11^{1/3}} 11^2 = \frac{2}{1/3} \log_{11} 11 \).

    \( \log_{11} 11 = 1 \), так как \( 11^1 = 11 \).

    \( \frac{2}{1/3} \times 1 = 2 \times 3 = 6 \).

  5. д) \( 2^{4 + \log_2 7} \)

    6. Используем свойство степеней \( a^{m+n} = a^m \times a^n \):

    \( 2^{4 + \log_2 7} = 2^4 \times 2^{\log_2 7} \).

    \( 2^4 = 16 \).

    Используем основное логарифмическое тождество \( a^{\log_a b} = b \):

    \( 2^{\log_2 7} = 7 \).

    Таким образом, \( 16 \times 7 = 112 \).

  6. е) \( 3 \log_2 \frac{1}{8} + 10^{\log_{10} 5} \)

    7. Сначала вычислим \( \log_2 \frac{1}{8} \). Так как \( \frac{1}{8} = 2^{-3} \), то \( \log_2 \frac{1}{8} = -3 \).

    Теперь вычислим \( 3 \times (-3) = -9 \).

    Затем используем основное логарифмическое тождество \( a^{\log_a b} = b \):

    \( 10^{\log_{10} 5} = 5 \).

    Сложим полученные значения: \( -9 + 5 = -4 \).

2. Решите уравнения:

  1. a) \( \log_{11} (7x - 12) = \log_{11} 23 \)

    2. Поскольку основания логарифмов одинаковы, приравниваем аргументы:

    \( 7x - 12 = 23 \)

    \( 7x = 23 + 12 \)

    \( 7x = 35 \)

    \( x = 35 / 7 \)

    \( x = 5 \)

    Проверка: \( 7 \times 5 - 12 = 35 - 12 = 23 \). Аргумент положительный, значит, решение подходит.

  2. б) \( \log_{0.5} (x^2 + x) = -1 \)

    3. Перепишем уравнение, используя определение логарифма \( \log_a b = c \iff a^c = b \):

    \( (0.5)^{-1} = x^2 + x \)

    \( (1/2)^{-1} = x^2 + x \)

    \( 2 = x^2 + x \)

    \( x^2 + x - 2 = 0 \)

    Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(1)(-2) = 1 + 8 = 9 \).

    \( x_1 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2(1)} = \frac{-1 + 3}{2} = \frac{2}{2} = 1 \)

    \( x_2 = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2(1)} = \frac{-1 - 3}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \)

    Проверка:

    Для \( x = 1 \): \( x^2 + x = 1^2 + 1 = 1 + 1 = 2 \). \( \log_{0.5} 2 = -1 \) (так как \( (0.5)^{-1} = 2 \)). Подходит.

    Для \( x = -2 \): \( x^2 + x = (-2)^2 + (-2) = 4 - 2 = 2 \). \( \log_{0.5} 2 = -1 \). Подходит.

  3. в) \( \log_4(5x + 11) - \log_4 5 = \log_4 3 \)

    4. Сначала перенесем \( \log_4 5 \) в правую часть:

    \( \log_4(5x + 11) = \log_4 3 + \log_4 5 \)

    Используем свойство логарифмов \( \log_a x + \log_a y = \log_a (xy) \):

    \( \log_4(5x + 11) = \log_4 (3 \times 5) \)

    \( \log_4(5x + 11) = \log_4 15 \)

    Приравниваем аргументы:

    \( 5x + 11 = 15 \)

    \( 5x = 15 - 11 \)

    \( 5x = 4 \)

    \( x = 4 / 5 \)

    Проверка: \( 5 \times (4/5) + 11 = 4 + 11 = 15 \). Аргумент положительный, значит, решение подходит.

  4. г) \( \log_2^2 x - 2 \log_3 x = 3 \)

    5. Пожалуйста, уточните запись. Если \( \log_2^2 x \) означает \( (\log_2 x)^2 \) и \( \log_3 x \) не связан с \( \log_2 x \) через основание, то задача решается сложнее (смена основания или системы уравнений, если бы было два логарифма с разными основаниями). Без уточнения предполагаю, что это возможно опечатка и одно из оснований должно быть связано с другим или с аргументом.

    Предполагая, что это опечатка и имеется в виду:

    Вариант 1: \( (\log_2 x)^2 - 2 \log_2 x = 3 \)

    Сделаем замену \( t = \log_2 x \):

    \( t^2 - 2t - 3 = 0 \)

    \( (t-3)(t+1) = 0 \)

    \( t = 3 \) или \( t = -1 \).

    Если \( t = 3 \), то \( \log_2 x = 3 \), значит \( x = 2^3 = 8 \).

    Если \( t = -1 \), то \( \log_2 x = -1 \), значит \( x = 2^{-1} = 1/2 \).

    Вариант 2: \( \log_2 x - 2 \log_3 x = 3 \)

    Этот вариант требует смены основания логарифма, например, к натуральному логарифму:

    \( \frac{\ln x}{\ln 2} - 2 \frac{\ln x}{\ln 3} = 3 \)

    \( \ln x \left( \frac{1}{\ln 2} - \frac{2}{\ln 3} \right) = 3 \)

    \( \ln x = \frac{3}{\frac{1}{\ln 2} - \frac{2}{\ln 3}} = \frac{3 \ln 2 \ln 3}{\ln 3 - 2 \ln 2} \).

    \( x = e^{\frac{3 \ln 2 \ln 3}{\ln 3 - 2 \ln 2}} \).

    Без уточнения, я предоставлю решение для Варианта 1, как более вероятной опечатки.

    Ответ (для Варианта 1): \( x = 8 \) и \( x = 1/2 \).

3. Решите неравенства:

  1. a) \( \log_7 (2-x) \le \log_7 (3x+6) \)

    2. Во-первых, найдем область допустимых значений (ОДЗ):

    \( 2-x > 0 \implies x < 2 \)

    \( 3x+6 > 0 \implies 3x > -6 \implies x > -2 \)

    Итак, \( -2 < x < 2 \).

    Поскольку основание логарифма \( 7 > 1 \), при снятии логарифма знак неравенства сохраняется:

    \( 2-x \le 3x+6 \)

    \( 2-6 \le 3x+x \)

    \( -4 \le 4x \)

    \( -1 \le x \)

    Теперь учтем ОДЗ: \( -2 < x < 2 \) и \( -1 \le x \).

    Общее решение: \( -1 \le x < 2 \).

  2. б) \( \log_{1/3} (2x-5) > -1 \)

    3. Сначала найдем ОДЗ:

    \( 2x-5 > 0 \implies 2x > 5 \implies x > 5/2 \).

    Поскольку основание логарифма \( 1/3 \) находится между 0 и 1, при снятии логарифма знак неравенства меняется на противоположный:

    \( 2x-5 < (1/3)^{-1} \)

    \( 2x-5 < 3 \)

    \( 2x < 3+5 \)

    \( 2x < 8 \)

    \( x < 4 \)

    Учитывая ОДЗ \( x > 5/2 \), получаем:

    \( 5/2 < x < 4 \).

  3. в) \( \log_3 (x^2 - 3x + 2) \le 1 + \log_3 (x-2) \)

    4. Сначала найдем ОДЗ:

    \( x^2 - 3x + 2 > 0 \)

    \( (x-1)(x-2) > 0 \). Это выполняется при \( x < 1 \) или \( x > 2 \).

    \( x-2 > 0 \implies x > 2 \).

    Общая ОДЗ: \( x > 2 \).

    Перепишем неравенство, чтобы все логарифмы были с одинаковым основанием:

    \( \log_3 (x^2 - 3x + 2) \le \log_3 3 + \log_3 (x-2) \)

    \( \log_3 (x^2 - 3x + 2) \le \log_3 (3(x-2)) \)

    \( \log_3 (x^2 - 3x + 2) \le \log_3 (3x-6) \)

    Поскольку основание \( 3 > 1 \), знак неравенства сохраняется:

    \( x^2 - 3x + 2 \le 3x - 6 \)

    \( x^2 - 3x - 3x + 2 + 6 \le 0 \)

    \( x^2 - 6x + 8 \le 0 \)

    Найдем корни квадратного трехчлена \( x^2 - 6x + 8 = 0 \).

    \( D = (-6)^2 - 4(1)(8) = 36 - 32 = 4 \).

    \( x_1 = \frac{6 + \sqrt{4}}{2} = \frac{6+2}{2} = 4 \)

    \( x_2 = \frac{6 - \sqrt{4}}{2} = \frac{6-2}{2} = 2 \)

    Парабола \( y = x^2 - 6x + 8 \) направлена ветвями вверх, поэтому \( x^2 - 6x + 8 \le 0 \) при \( 2 \le x \le 4 \).

    Учитывая ОДЗ \( x > 2 \), получаем:

    \( 2 < x \le 4 \).

4. Сравните числа:

  1. a) \( \log_{1/2} \frac{1}{2} \) и \( \log_{1/3} \frac{1}{3} \)

    2. По определению логарифма, \( \log_a a = 1 \).

    Следовательно, \( \log_{1/2} \frac{1}{2} = 1 \) и \( \log_{1/3} \frac{1}{3} = 1 \).

    Таким образом, \( \log_{1/2} \frac{1}{2} = \log_{1/3} \frac{1}{3} \).

  2. б) \( \log_2 6 \) и \( \log_2 9 \)

    3. Логарифмическая функция \( y = \log_2 x \) является возрастающей, так как основание \( 2 > 1 \).

    Следовательно, если аргументы логарифма различны, то и значения логарифмов различны в том же порядке.

    Так как \( 6 < 9 \), то \( \log_2 6 < \log_2 9 \).

5. Решите систему уравнений:

\( \begin{cases} \log_5 (x+y) = 2 \\ \log_{\sqrt{x-y}} 5 = 5 \end{cases} \)

Из первого уравнения, по определению логарифма:

\( x+y = 5^2 \)

\( x+y = 25 \) (1)

Из второго уравнения:

\( \log_{\sqrt{x-y}} 5 = 5 \)

По определению логарифма:

\( (\sqrt{x-y})^5 = 5 \)

\( (x-y)^{5/2} = 5 \)

Возведем обе части в степень \( 2/5 \):

\( x-y = 5^{2/5} \) (2)

Теперь у нас есть система двух линейных уравнений:

\( \begin{cases} x+y = 25 \\ x-y = 5^{2/5} \end{cases} \)

Сложим уравнения (1) и (2):

\( (x+y) + (x-y) = 25 + 5^{2/5} \)

\( 2x = 25 + 5^{2/5} \)

\( x = \frac{25 + 5^{2/5}}{2} \)

Вычтем уравнение (2) из уравнения (1):

\( (x+y) - (x-y) = 25 - 5^{2/5} \)

\( 2y = 25 - 5^{2/5} \)

\( y = \frac{25 - 5^{2/5}}{2} \)

Ответ: \( x = \frac{25 + \sqrt[5]{25}}{2}, y = \frac{25 - \sqrt[5]{25}}{2} \)

ГДЗ по фото 📸
Подать жалобу Правообладателю