1. Найти двугранный угол DABC тетраэдра DABC (рис. 1), если углы BCD и ACD прямые, AB = BC = AC = 4, BD = 2√7.

В тетраэдре DABC, где углы BCD и ACD прямые, AB = BC = AC = 4, BD = 2√7.

1. Найдем длину AD. В прямоугольном треугольнике ACD, AC = 4, CD = BC = 4. По теореме Пифагора, AD² = AC² + CD² = 4² + 4² = 32, следовательно, AD = √32 = 4√2.

2. Найдем длину CD. В прямоугольном треугольнике BCD, BC = 4, BD = 2√7. По теореме Пифагора, CD² = BD² - BC² = (2√7)² - 4² = 28 - 16 = 12, следовательно, CD = √12 = 2√3.

3. Двугранный угол между гранями DABC и ABC определяется углом между перпендикулярами к ребру BC. Так как CD ⊥ BC и AC ⊥ BC, то искомый угол равен углу ACD. В прямоугольном треугольнике ACD, AC = 4, CD = 2√3, AD = 4√2. Используя теорему косинусов для треугольника ACD: AD² = AC² + CD² - 2 * AC * CD * cos(∠ACD). (4√2)² = 4² + (2√3)² - 2 * 4 * 2√3 * cos(∠ACD). 32 = 16 + 12 - 16√3 * cos(∠ACD). 32 = 28 - 16√3 * cos(∠ACD). 4 = -16√3 * cos(∠ACD). cos(∠ACD) = -4 / (16√3) = -1 / (4√3) = -√3 / 12.

Ответ: arccos(-√3 / 12).