1. Найти координаты вектора \(\vec{AB}\) и точки M – середины отрезка, если A(-3; -4; 1), B (7; -2; -3). 2. Даны векторы \(\vec{a}\)(2; -3; 4) и \(\vec{c}\)(-1; -2; -3). Найти \(|3\vec{a} - \vec{c}|\). 3. Изобразить систему координат Oxy z и построить точку B(-3; 1; -2). Найти расстояние от этой точки до координатных плоскостей. 4. Даны точки A(-1; 5; 3), B(-3; 7; -5), C(3; 1; -5). Доказать, что треугольник ABC – равнобедренный. Найти длину средней линии треугольника, соединяющей середины боковых сторон.

Задание 1. Вектор и середина отрезка

Дано:

• Точка A: \( (-3; -4; 1) \)
• Точка B: \( (7; -2; -3) \)

Найти: координаты вектора \(\vec{AB}\) и середины отрезка M.

Решение:

1. Находим координаты вектора \(\vec{AB}\): \( \vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A) \)
2. Подставляем значения: \( \vec{AB} = (7 - (-3); -2 - (-4); -3 - 1) = (7 + 3; -2 + 4; -4) = (10; 2; -4) \).
3. Находим координаты середины отрезка M: \( M = \left( \frac{x_A + x_B}{2}; \frac{y_A + y_B}{2}; \frac{z_A + z_B}{2} \right) \)
4. Подставляем значения: \( M = \left( \frac{-3 + 7}{2}; \frac{-4 + (-2)}{2}; \frac{1 + (-3)}{2} \right) = \left( \frac{4}{2}; \frac{-6}{2}; \frac{-2}{2} \right) = (2; -3; -1) \).

Ответ: \(\vec{AB} = (10; 2; -4)\), \( M = (2; -3; -1) \).

Задание 2. Модуль разности векторов

Дано:

• Вектор \(\vec{a}\): \( (2; -3; 4) \)
• Вектор \(\vec{c}\): \( (-1; -2; -3) \)

Найти: \(|3\vec{a} - \vec{c}|\).

Решение:

1. Находим вектор \(3\vec{a}\): \( 3\vec{a} = 3 \cdot (2; -3; 4) = (3 \cdot 2; 3 \cdot (-3); 3 \cdot 4) = (6; -9; 12) \).
2. Находим вектор \(3\vec{a} - \vec{c}\): \( 3\vec{a} - \vec{c} = (6 - (-1); -9 - (-2); 12 - (-3)) = (6 + 1; -9 + 2; 12 + 3) = (7; -7; 15) \).
3. Находим модуль вектора \(3\vec{a} - \vec{c}\): \( |3\vec{a} - \vec{c}| = \sqrt{7^2 + (-7)^2 + 15^2} \)
4. Вычисляем: \( |3\vec{a} - \vec{c}| = \sqrt{49 + 49 + 225} = \sqrt{323} \).

Ответ: \(\sqrt{323}\).

Задание 3. Расстояние от точки до координатных плоскостей

Дано:

• Точка B: \( (-3; 1; -2) \)

Найти: расстояние от точки B до координатных плоскостей Oxy, Oxz, Oyz.

Решение:

Система координат Oxy z — это трехмерная система координат.

• Расстояние от точки \( (x_0; y_0; z_0) \) до плоскости Oxy (где \( z=0 \)) равно \(|z_0|\).
• Расстояние от точки \( (x_0; y_0; z_0) \) до плоскости Oxz (где \( y=0 \)) равно \(|y_0|\).
• Расстояние от точки \( (x_0; y_0; z_0) \) до плоскости Oyz (где \( x=0 \)) равно \(|x_0|\).

Для точки B \( (-3; 1; -2) \):

• Расстояние до Oxy: \(|-2| = 2\).
• Расстояние до Oxz: \(|1| = 1\).
• Расстояние до Oyz: \(|-3| = 3\).

Ответ: до Oxy – 2, до Oxz – 1, до Oyz – 3.

Задание 4. Равнобедренный треугольник и средняя линия

Дано:

• Точка A: \( (-1; 5; 3) \)
• Точка B: \( (-3; 7; -5) \)
• Точка C: \( (3; 1; -5) \)

Доказать: \( \triangle ABC \) – равнобедренный.

Найти: длину средней линии, соединяющей середины боковых сторон.

Решение:

1. Вычислим длины сторон треугольника:
• \( AB = \sqrt{(-3 - (-1))^2 + (7 - 5)^2 + (-5 - 3)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 2^2 + (-8)^2} = \sqrt{4 + 4 + 64} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2} \)
• \( BC = \sqrt{(3 - (-3))^2 + (1 - 7)^2 + (-5 - (-5))^2} = \sqrt{6^2 + (-6)^2 + 0^2} = \sqrt{36 + 36} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2} \)
• \( AC = \sqrt{(3 - (-1))^2 + (1 - 5)^2 + (-5 - 3)^2} = \sqrt{4^2 + (-4)^2 + (-8)^2} = \sqrt{16 + 16 + 64} = \sqrt{96} = 4\sqrt{6} \)
2. Доказываем, что треугольник равнобедренный:
• Так как \( AB = BC = 6\sqrt{2} \), то \( \triangle ABC \) – равнобедренный с боковыми сторонами AB и BC.
3. Находим середины боковых сторон:
• Середина AB (точка K): \( K = \left( \frac{-1 + (-3)}{2}; \frac{5 + 7}{2}; \frac{3 + (-5)}{2} \right) = \left( \frac{-4}{2}; \frac{12}{2}; \frac{-2}{2} \right) = (-2; 6; -1) \).
• Середина BC (точка L): \( L = \left( \frac{-3 + 3}{2}; \frac{7 + 1}{2}; \frac{-5 + (-5)}{2} \right) = \left( \frac{0}{2}; \frac{8}{2}; \frac{-10}{2} \right) = (0; 4; -5) \).
4. Находим длину средней линии KL:
• \( KL = \sqrt{(0 - (-2))^2 + (4 - 6)^2 + (-5 - (-1))^2} = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + (-4)^2} = \sqrt{4 + 4 + 16} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6} \)

Ответ: Длина средней линии равна \(2\sqrt{6}\).