1) Найти модуль и аргумент комплексного числа \(z=3\sqrt{3}-3i\).

Модуль комплексного числа:

\(|z|=\sqrt{(3\sqrt{3})^2+(-3)^2}=\sqrt{27+9}=6.\)

Число находится в IV четверти. Для аргумента \(\varphi\): \(\tan\varphi=\frac{-3}{3\sqrt{3}}=-\frac{1}{\sqrt{3}}\), поэтому главный аргумент равен \(-\frac{\pi}{6}\) (или \(\frac{11\pi}{6}\), если аргумент берётся от \(0\) до \(2\pi\)).

Ответ: \(|z|=6\), \(\arg z=-\frac{\pi}{6}+2\pi k\), \(k\in\mathbb{Z}\).