1. Найти общее решение уравнений y'=2x-y (ур-ие с разделяющимися переменными)

Решение:

Данное уравнение является дифференциальным уравнением первого порядка с разделяющимися переменными. Приведём его к виду \( y' = f(x)g(y) \).

1. Перепишем уравнение: \( y' = 2x - y \).
2. Чтобы разделить переменные, нужно представить уравнение в виде \( \frac{dy}{dx} = f(x)g(y) \). Данное уравнение не имеет такого вида.
3. Проверим, не является ли оно уравнением с разделяющимися переменными. Для этого нужно, чтобы правая часть была произведением функции от \( x \) и функции от \( y \). В данном случае \( 2x - y \) не является произведением.
4. Возможно, в условии задания была допущена опечатка, и уравнение должно было быть, например, \( y' = 2xy \) или \( y' = \frac{2x}{y} \), где переменные разделяются.
5. Если предположить, что уравнение имеет вид \( y' = 2x · y \), то решение будет следующим: \( \frac{dy}{y} = 2x dx \). Интегрируем обе части: \( \int \frac{dy}{y} = \int 2x dx \) \( \ln|y| = x^2 + C \) \( y = Ce^{x^2} \).
6. Если предположить, что уравнение имеет вид \( y' = \frac{2x}{y} \), то решение будет следующим: \( y dy = 2x dx \). Интегрируем обе части: \( \int y dy = \int 2x dx \) \( \frac{y^2}{2} = x^2 + C \) \( y^2 = 2x^2 + C_1 \).
7. Однако, следуя строго условию \( y'=2x-y \), данное уравнение является линейным дифференциальным уравнением первого порядка вида \( y' + P(x)y = Q(x) \). В нашем случае \( P(x) = 1 \) и \( Q(x) = 2x \).
8. Решение линейного дифференциального уравнения можно найти методом вариации постоянной. Сначала решим однородное уравнение \( y' + y = 0 \). \( \frac{dy}{y} = -dx \) \( \ln|y| = -x + C_1 \) \( y_{ог} = Ce^{-x} \).
9. Теперь ищем частное решение неоднородного уравнения в виде \( y_{ч} = C(x)e^{-x} \). Найдем производную: \( y'_{ч} = C'(x)e^{-x} - C(x)e^{-x} \).
10. Подставим в исходное уравнение: \( C'(x)e^{-x} - C(x)e^{-x} + C(x)e^{-x} = 2x \) \( C'(x)e^{-x} = 2x \) \( C'(x) = 2xe^x \).
11. Интегрируем \( C'(x) \) для нахождения \( C(x) \). Используем интегрирование по частям: \( \int 2xe^x dx = 2 \int xe^x dx \). Пусть \( u = x \), \( dv = e^x dx \). Тогда \( du = dx \), \( v = e^x \). \( \int xe^x dx = xe^x - \int e^x dx = xe^x - e^x \).
12. Таким образом, \( C(x) = 2(xe^x - e^x) = 2xe^x - 2e^x \).
13. Общее решение: \( y = y_{ог} + y_{ч} = Ce^{-x} + (2xe^x - 2e^x)e^{-x} = Ce^{-x} + 2x - 2 \).

Ответ: Общее решение уравнения \( y'=2x-y \) есть \( y = Ce^{-x} + 2x - 2 \), где \( C \) — произвольная постоянная.