1. Найти общее решение уравнения y' = 2x - y (ур-е с разделяющимися переменными)

Решение:

Данное уравнение является линейным дифференциальным уравнением первого порядка. Его можно записать в виде \( y' + y = 2x \).

Это уравнение вида \( y' + P(x)y = Q(x) \), где \( P(x) = 1 \) и \( Q(x) = 2x \).

Для решения найдем интегрирующий множитель \( μ(x) \):

\[ μ(x) = e^{\int P(x) dx} = e^{\int 1 dx} = e^x \]

Умножим обе части уравнения на интегрирующий множитель:

\[ e^x y' + e^x y = 2x e^x \]

Левая часть уравнения является производной от произведения \( (e^x y)' \):

\[ (e^x y)' = 2x e^x \]

Теперь проинтегрируем обе части:

\[ \int (e^x y)' dx = \int 2x e^x dx \]

\[ e^x y = \int 2x e^x dx \]

Для нахождения интеграла \( \int 2x e^x dx \) применим интегрирование по частям: \( u = 2x \), \( dv = e^x dx \), \( du = 2 dx \), \( v = e^x \).

\[ \int 2x e^x dx = 2x e^x - \int 2 e^x dx = 2x e^x - 2 e^x + C \]

Таким образом, получаем:

\[ e^x y = 2x e^x - 2 e^x + C \]

Разделим обе части на \( e^x \):

\[ y = 2x - 2 + C e^{-x} \]

Это общее решение данного дифференциального уравнения.

Ответ: \( y = 2x - 2 + C e^{-x} \).