1. Найти общий вид первообразных a) f(x) = cos2x - e2x+1 5) f(x) = 1/3 x8 - 2x4 - 2 6) f(x) = 1/(2x+7) + sin(8x-4) 2. Вычислить a) log, 15 + log, 18 - log, 10 6) log3 6 - 1/2 log 400 6) log7 3 3) log8 8 / log3 16 e) log7 8 / (log7 15 - log7 30) 2) 36 log6 5 3. Решить уравнения a) log4 (9x-1)=2 5) log5 (x+2)=3 6) log1/3 (6x-1) = log1/3 (x+5) 2) log2(x-5) + log2(x+2)=3 9) log3 (3x+4) = 2 log3 2 c) ln (3x-5)=0 21) log (12x-4)=1

Задание 1. Найти общий вид первообразных

Чтобы найти общий вид первообразных, нужно проинтегрировать каждую функцию.

a) f(x) = cos(2x) - e^2x+1

Интегрируем функцию:

\[ \begin{aligned} \int (\cos(2x) - e^{2x+1}) dx &= \int \cos(2x) dx - \int e^{2x+1} dx \\ &= \frac{1}{2} \sin(2x) - \frac{1}{2} e^{2x+1} + C \end{aligned} \]

Ответ: \( F(x) = \frac{1}{2} \sin(2x) - \frac{1}{2} e^{2x+1} + C \)

б) f(x) = \(\frac{1}{3} x^8 - 2x^4 - 2\)

Интегрируем функцию:

\[ \begin{aligned} \int (\frac{1}{3} x^8 - 2x^4 - 2) dx &= \frac{1}{3} \int x^8 dx - 2 \int x^4 dx - 2 \int dx \\ &= \frac{1}{3} \cdot \frac{x^9}{9} - 2 \cdot \frac{x^5}{5} - 2x + C \\ &= \frac{x^9}{27} - \frac{2x^5}{5} - 2x + C \end{aligned} \]

Ответ: \( F(x) = \frac{x^9}{27} - \frac{2x^5}{5} - 2x + C \)

в) f(x) = \(\frac{1}{2x+7} + \sin(8x-4)\)

Интегрируем функцию:

\[ \begin{aligned} \int (\frac{1}{2x+7} + \sin(8x-4)) dx &= \int \frac{1}{2x+7} dx + \int \sin(8x-4) dx \\ &= \frac{1}{2} \ln|2x+7| - \frac{1}{8} \cos(8x-4) + C \end{aligned} \]

Ответ: \( F(x) = \frac{1}{2} \ln|2x+7| - \frac{1}{8} \cos(8x-4) + C \)

Задание 2. Вычислить

а) log₉ 15 + log₉ 18 - log₉ 10

Используем свойства логарифмов: \( \log_b x + \log_b y = \log_b(xy) \) и \( \log_b x - \log_b y = \log_b(x/y) \).

\[ \begin{aligned} \log_9 15 + \log_9 18 - \log_9 10 &= \log_9(15 \times 18) - \log_9 10 \\ &= \log_9(270) - \log_9 10 \\ &= \log_9(\frac{270}{10}) \\ &= \log_9(27) \\ &= \log_{3^2}(3^3) \\ &= \frac{3}{2} \log_3(3) \\ &= \frac{3}{2} \end{aligned} \]

Ответ: \( \frac{3}{2} \)

б) log₃ 6 - \(\frac{1}{2}\) log₃ 400

Используем свойства логарифмов: \( k \log_b x = \log_b(x^k) \) и \( \log_b x - \log_b y = \log_b(x/y) \).

\[ \begin{aligned} \log_3 6 - \frac{1}{2} \log_3 400 &= \log_3 6 - \log_3(400^{\frac{1}{2}}) \\ &= \log_3 6 - \log_3(\sqrt{400}) \\ &= \log_3 6 - \log_3 20 \\ &= \log_3(\frac{6}{20}) \\ &= \log_3(\frac{3}{10}) \end{aligned} \]

Ответ: \( \log_3(\frac{3}{10}) \)

в) \(\frac{\log_8 8}{\log_3 16}\)

Здесь, похоже, ошибка в записи. Предположим, что имелось в виду \( \log_8 3 \) в числителе и \( \log_3 16 \) в знаменателе.

\[ \frac{\log_8 3}{\log_3 16} = \frac{\log_3 3 / \log_3 8}{\log_3 16} = \frac{1 / \log_3 8}{\log_3 16} = \frac{1}{\log_3 8 \cdot \log_3 16} = \frac{1}{(\frac{3}{1}) \cdot \log_3 2 \cdot (\frac{4}{1}) \cdot \log_3 2} \]

Если же имелось в виду \( \log_3 8 \) в числителе:

\[ \frac{\log_3 8}{\log_3 16} = \frac{\log_3 2^3}{\log_3 2^4} = \frac{3 \log_3 2}{4 \log_3 2} = \frac{3}{4} \]

Ответ (при предположении \(\log_3 8 / \log_3 16\)): \( \frac{3}{4} \)

г) 36 ^{log₆ 5}

Используем свойства степеней и логарифмов: \( a^{log_a b} = b \) и \( a^{mn} = (a^m)^n \).

\[ 36^{\log_6 5} = (6^2)^{\log_6 5} = 6^{2 \cdot \log_6 5} = 6^{\log_6 5^2} = 5^2 = 25 \]

Ответ: 25

д) \(\frac{\log_7 8}{\log_7 15 - \log_7 30}\)

Используем свойства логарифмов: \( \log_b x - \log_b y = \log_b(x/y) \).

\[ \begin{aligned} \frac{\log_7 8}{\log_7 15 - \log_7 30} &= \frac{\log_7 8}{\log_7(\frac{15}{30})} \\ &= \frac{\log_7 8}{\log_7(\frac{1}{2})} \\ &= \frac{\log_7 2^3}{\log_7 2^{-1}} \\ &= \frac{3 \log_7 2}{-1 \log_7 2} \\ &= -3 \end{aligned} \]

Ответ: -3

Задание 3. Решить уравнения

а) log₄ (9x-1) = 2

Переводим логарифмическое уравнение в показательное:

\[ 9x - 1 = 4^2 \]

\[ 9x - 1 = 16 \]

\[ 9x = 17 \]

\[ x = \frac{17}{9} \]

Проверяем ОДЗ: \( 9x - 1 > 0 \), \( 9 \cdot \frac{17}{9} - 1 = 17 - 1 = 16 > 0 \). Решение подходит.

Ответ: \( x = \frac{17}{9} \)

б) log₅ (x+2) = 3

Переводим логарифмическое уравнение в показательное:

\[ x + 2 = 5^3 \]

\[ x + 2 = 125 \]

\[ x = 123 \]

Проверяем ОДЗ: \( x + 2 > 0 \), \( 123 + 2 = 125 > 0 \). Решение подходит.

Ответ: \( x = 123 \)

в) log_1/3 (6x-1) = log_1/3 (x+5)

Так как основания логарифмов равны, можем приравнять аргументы:

\[ 6x - 1 = x + 5 \]

\[ 5x = 6 \]

\[ x = \frac{6}{5} \]

Проверяем ОДЗ:

\( 6x - 1 > 0 \) \( \Rightarrow 6 \cdot \frac{6}{5} - 1 = \frac{36}{5} - 1 = \frac{31}{5} > 0 \)

\( x + 5 > 0 \) \( \Rightarrow \frac{6}{5} + 5 = \frac{6+25}{5} = \frac{31}{5} > 0 \)

Решение подходит.

Ответ: \( x = \frac{6}{5} \)

г) log₂(x-5) + log₂(x+2) = 3

Используем свойства логарифмов: \( \log_b x + \log_b y = \log_b(xy) \).

\[ \log_2((x-5)(x+2)) = 3 \]

Переводим логарифмическое уравнение в показательное:

\[ (x-5)(x+2) = 2^3 \]

\[ x^2 + 2x - 5x - 10 = 8 \]

\[ x^2 - 3x - 18 = 0 \]

Решаем квадратное уравнение через дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4(1)(-18) = 9 + 72 = 81 \]

\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 9}{2} = 6 \]

\[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 9}{2} = -3 \]

Проверяем ОДЗ:

\( x - 5 > 0 \) \( \Rightarrow x > 5 \)

\( x + 2 > 0 \) \( \Rightarrow x > -2 \)

Общее условие ОДЗ: \( x > 5 \).

Корень \( x = 6 \) подходит, так как \( 6 > 5 \).

Корень \( x = -3 \) не подходит, так как \( -3 < 5 \).

Ответ: \( x = 6 \)

д) log₃ (3x+4) = 2 log₃ 2

Используем свойства логарифмов: \( k \log_b x = \log_b(x^k) \).

\[ \log_3 (3x+4) = \log_3 (2^2) \]

\[ \log_3 (3x+4) = \log_3 4 \]

Приравниваем аргументы:

\[ 3x + 4 = 4 \]

\[ 3x = 0 \]

\[ x = 0 \]

Проверяем ОДЗ: \( 3x + 4 > 0 \), \( 3(0) + 4 = 4 > 0 \). Решение подходит.

Ответ: \( x = 0 \)

е) ln (3x-5) = 0

Переводим логарифмическое уравнение в показательное (натуральный логарифм — это логарифм по основанию \( e \)).

\[ 3x - 5 = e^0 \]

\[ 3x - 5 = 1 \]

\[ 3x = 6 \]

\[ x = 2 \]

Проверяем ОДЗ: \( 3x - 5 > 0 \), \( 3(2) - 5 = 6 - 5 = 1 > 0 \). Решение подходит.

Ответ: \( x = 2 \)

ж) lg (12x-4) = 1

Десятичный логарифм — это логарифм по основанию 10.

\[ 12x - 4 = 10^1 \]

\[ 12x - 4 = 10 \]

\[ 12x = 14 \]

\[ x = \frac{14}{12} = \frac{7}{6} \]

Проверяем ОДЗ: \( 12x - 4 > 0 \), \( 12 \cdot \frac{7}{6} - 4 = 2 \cdot 7 - 4 = 14 - 4 = 10 > 0 \). Решение подходит.

Ответ: \( x = \frac{7}{6} \)