1. Найти первообразную функции. I вариант: а) f(x) = 9x⁸ + 8x⁷ + 15; б) f(x) = 5/(2√(3x + 2)) + 1/sin²(4x); в) f(x) = 5 sin(x/5) + cos 2x. II вариант: а) f(x) = 10x⁹ + 6x³ + 5x; б) f(x) = 6/(5√(4x + 2)) + 1/cos²(5x); в) f(x) = 3 cos(x/3) + sin 3x.

I вариант

а) Интегрируем слагаемые по правилу степенной функции: \(\int (9x^8+8x^7+15)\,dx=x^9+x^8+15x+C\).

б) Используем производные \(\sqrt{3x+2}\) и \(\cot(4x)\): \(\int \left(\frac{5}{2\sqrt{3x+2}}+\frac{1}{\sin^2(4x)}\right)dx=\frac{5}{3}\sqrt{3x+2}-\frac{1}{4}\cot(4x)+C\).

в) Применяем формулы интегрирования синуса и косинуса с линейным аргументом: \(\int \left(5\sin\frac{x}{5}+\cos 2x\right)dx=-25\cos\frac{x}{5}+\frac{1}{2}\sin 2x+C\).

II вариант

а) Интегрируем каждое слагаемое: \(\int (10x^9+6x^3+5x)\,dx=x^{10}+\frac{3}{2}x^4+\frac{5}{2}x^2+C\).

б) Используем производные \(\sqrt{4x+2}\) и \(\tan(5x)\): \(\int \left(\frac{6}{5\sqrt{4x+2}}+\frac{1}{\cos^2(5x)}\right)dx=\frac{3}{5}\sqrt{4x+2}+\frac{1}{5}\tan(5x)+C\).

в) Применяем формулы интегрирования косинуса и синуса с линейным аргументом: \(\int \left(3\cos\frac{x}{3}+\sin 3x\right)dx=9\sin\frac{x}{3}-\frac{1}{3}\cos 3x+C\).

Здесь \(C\) — произвольная постоянная.