1. Найти площадь равнобедренного треугольника и радиусы R и r, если известно основание и боковая сторона 10 см и 13 см.

Даны две длины, но не указано, какая из них — основание, а какая — боковая сторона. Возможны два варианта.

Вариант 1: основание 10 см, боковые стороны по 13 см. Высота делит основание пополам, поэтому её длина равна \(\sqrt{13^2-5^2}=12\) см. Площадь: \(S=\frac12\cdot10\cdot12=60\) см². Радиус описанной окружности: \(R=\frac{13\cdot13\cdot10}{4\cdot60}=\frac{169}{24}\) см. Радиус вписанной окружности: \(r=\frac{S}{p}=\frac{60}{18}=\frac{10}{3}\) см.

Вариант 2: основание 13 см, боковые стороны по 10 см. Высота: \(\sqrt{10^2-6.5^2}=\frac{\sqrt{231}}{2}\) см. Площадь: \(S=\frac12\cdot13\cdot\frac{\sqrt{231}}2=\frac{13\sqrt{231}}4\) см². Полупериметр \(p=16.5\) см, поэтому \(r=\frac{S}{p}=\frac{\sqrt{231}}{22}\) см. Радиус описанной окружности: \(R=\frac{10\cdot10\cdot13}{4S}=\frac{100}{\sqrt{231}}\) см.

Ответ: вариант 1 — \(S=60\) см², \(R=\frac{169}{24}\) см, \(r=\frac{10}{3}\) см; вариант 2 — \(S=\frac{13\sqrt{231}}4\) см², \(R=\frac{100}{\sqrt{231}}\) см, \(r=\frac{\sqrt{231}}{22}\) см.