1. Найти производную 3x⁵ + 4√x + 3eˣ + 2cos x - lnx 2. Найти производную произведения x³⋅cos(5x−2) 3. Найти производную дроби (5x−1)/(4x+2) 4. Найти первообразную (2/√x) + 3x² - 5 - 3sin2x 5. Вычислить ∫(2x²+x)dx, границы от 1 до 2

Задание 1. Производная суммы

Надо найти производную от функции \( f(x) = 3x^5 + 4\sqrt{x} + 3e^x + 2\cos x - \ln x \).

Используем правила дифференцирования:

• Производная от \( x^n \) равна \( nx^{n-1} \).
• Производная от \( \sqrt{x} = x^{1/2} \) равна \( \frac{1}{2} x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}} \).
• Производная от \( e^x \) равна \( e^x \).
• Производная от \( \cos x \) равна \( -\sin x \).
• Производная от \( \ln x \) равна \( \frac{1}{x} \).

Применяем правила:

\( f'(x) = 3 \cdot 5x^4 + 4 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} + 3e^x + 2(-\sin x) - \frac{1}{x} \)

Упрощаем:

\( f'(x) = 15x^4 + \frac{2}{\sqrt{x}} + 3e^x - 2\sin x - \frac{1}{x} \)

Ответ: \( 15x^4 + \frac{2}{\sqrt{x}} + 3e^x - 2\sin x - \frac{1}{x} \)

Задание 2. Производная произведения

Надо найти производную от произведения \( f(x) = x^3 \) и \( g(x) = \cos(5x-2) \).

Используем правило дифференцирования произведения: \( (u  v)' = u'v + uv' \).

Сначала найдём производные от \( u \) и \( v \):

• \( u' = (x^3)' = 3x^2 \)
• \( v' = (\cos(5x-2))' \). Используем правило цепной производной: производная от \( \cos u \) равна \( -\sin u \) умножить на производную \( u \). Здесь \( u = 5x-2 \), а \( u' = 5 \).
• \( v' = -\sin(5x-2)  5 = -5\sin(5x-2) \)

Теперь подставляем в формулу:

\( (x^3  \cos(5x-2))' = (3x^2)(\cos(5x-2)) + (x^3)(-5\sin(5x-2)) \)

Упрощаем:

\( = 3x^2\cos(5x-2) - 5x^3\sin(5x-2) \)

Ответ: \( 3x^2\cos(5x-2) - 5x^3\sin(5x-2) \)

Задание 3. Производная дроби

Надо найти производную от дроби \( \frac{5x-1}{4x+2} \).

Используем правило дифференцирования дроби: \( \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \).

Здесь \( u = 5x-1 \) и \( v = 4x+2 \).

Найдём производные:

• \( u' = (5x-1)' = 5 \)
• \( v' = (4x+2)' = 4 \)

Подставляем в формулу:

\( \left(\frac{5x-1}{4x+2}\right)' = \frac{5(4x+2) - (5x-1)4}{(4x+2)^2} \)

Раскрываем скобки в числителе:

\( = \frac{20x + 10 - (20x - 4)}{(4x+2)^2} \)

\( = \frac{20x + 10 - 20x + 4}{(4x+2)^2} \)

Упрощаем числитель:

\( = \frac{14}{(4x+2)^2} \)

Ответ: \( \frac{14}{(4x+2)^2} \)

Задание 4. Первообразная

Надо найти первообразную от функции \( f(x) = \frac{2}{\sqrt{x}} + 3x^2 - 5 - 3\sin(2x) \).

Перепишем \( \frac{2}{\sqrt{x}} \) как \( 2x^{-1/2} \).

Используем правила интегрирования:

• Первообразная от \( x^n \) равна \( \frac{x^{n+1}}{n+1} \) (где \( n
  eq -1 \)).
• Первообразная от \( \sin(ax) \) равна \( -\frac{1}{a} \cos(ax) \).
• Первообразная от константы \( C \) равна \( Cx \).

Найдём первообразную для каждого члена:

• Для \( 2x^{-1/2} \): \( 2 \cdot \frac{x^{-1/2 + 1}}{-1/2 + 1} = 2 \cdot \frac{x^{1/2}}{1/2} = 4x^{1/2} = 4\sqrt{x} \)
• Для \( 3x^2 \): \( 3 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} = 3 \cdot \frac{x^3}{3} = x^3 \)
• Для \( -5 \): \( -5x \)
• Для \( -3\sin(2x) \): \( -3 \cdot (-\frac{1}{2} \cos(2x)) = \frac{3}{2}\cos(2x) \)

Собираем всё вместе и добавляем константу интегрирования \( C \):

\( F(x) = 4\sqrt{x} + x^3 - 5x + \frac{3}{2}\cos(2x) + C \)

Ответ: \( 4\sqrt{x} + x^3 - 5x + \frac{3}{2}\cos(2x) + C \)

Задание 5. Вычисление определенного интеграла

Надо вычислить интеграл \( \int_{1}^{2} (2x^2 + x) dx \).

Сначала найдём неопределённый интеграл:

\( \int (2x^2 + x) dx = 2 \int x^2 dx + \int x dx \)

Используем правило \( \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} \):

\( = 2 \cdot \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} \)

Теперь вычислим определённый интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница: \( \int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a) \), где \( F(x) \) — первообразная.

\( F(x) = \frac{2}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 \)

Вычисляем \( F(2) \):

\( F(2) = \frac{2}{3}(2)^3 + \frac{1}{2}(2)^2 = \frac{2}{3}(8) + \frac{1}{2}(4) = \frac{16}{3} + 2 = \frac{16 + 6}{3} = \frac{22}{3} \)

Вычисляем \( F(1) \):

\( F(1) = \frac{2}{3}(1)^3 + \frac{1}{2}(1)^2 = \frac{2}{3} + \frac{1}{2} = \frac{4 + 3}{6} = \frac{7}{6} \)

Теперь вычитаем:

\( F(2) - F(1) = \frac{22}{3} - \frac{7}{6} = \frac{44}{6} - \frac{7}{6} = \frac{37}{6} \)

Ответ: \( \frac{37}{6} \)