1. Найти производные сложных функций (вариант 1): а) \(y=2\sqrt{x}+\frac{4}{x}+12\); б) \(y=\sin^2 7x\); в) \(y=\frac{x+3}{\sqrt{x}}\); г) \(y=x^2\sin 8x\); д) \(y=\arccos^2\sqrt[3]{x}\); е) \(y=\sqrt{x^3+6x}\); ж) \(y=e^{5\sin x}\); з) \(y=\ln^2(7x)\); и) \(y=x^5e^{x^3}\).

Вычислим производные, используя правила степенной функции, цепное правило и правило произведения.

1. а) Представим слагаемые степенями: \(y=2x^{1/2}+4x^{-1}+12\). Тогда \(y'=x^{-1/2}-4x^{-2}=\frac{1}{\sqrt{x}}-\frac{4}{x^2}\).
2. б) По цепному правилу: \(y'=2\sin(7x)\cos(7x)\cdot7=14\sin(7x)\cos(7x)\).
3. в) Преобразуем: \(y=\sqrt{x}+3x^{-1/2}\). Поэтому \(y'=\frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{3}{2x^{3/2}}=\frac{x-3}{2x^{3/2}}\).
4. г) По правилу произведения: \(y'=2x\sin(8x)+8x^2\cos(8x)\).
5. д) Здесь \(y=[\arccos(x^{1/3})]^2\). По цепному правилу: \(y'=2\arccos(x^{1/3})\cdot\frac{-1}{\sqrt{1-x^{2/3}}}\cdot\frac{1}{3}x^{-2/3}=-\frac{2\arccos(\sqrt[3]{x})}{3\sqrt[3]{x^2}\sqrt{1-\sqrt[3]{x^2}}}\).
6. е) \(y'=\frac{1}{2\sqrt{x^3+6x}}(3x^2+6)=\frac{3x^2+6}{2\sqrt{x^3+6x}}\).
7. ж) По цепному правилу: \(y'=e^{5\sin x}\cdot5\cos x=5e^{5\sin x}\cos x\).
8. з) \(y=[\ln(7x)]^2\), поэтому \(y'=2\ln(7x)\cdot\frac{1}{7x}\cdot7=\frac{2\ln(7x)}{x}\).
9. и) По правилу произведения: \(y'=5x^4e^{x^3}+x^5e^{x^3}\cdot3x^2=e^{x^3}(5x^4+3x^7)\).

Ответ: производные приведены в пунктах а)–и).