1. Небольшое тело массой m скатывается без трения по направляющей, переходящей в вертикальную петлю радиусом R. С какой минимальной высоты H должно стартовать тело, чтобы совершить полный оборот внутри петли, не отрываясь от рельса? Найдите силу давления тела на рельс в нижней точке петли при таком старте.

В верхней точке петли тело при минимальной высоте едва сохраняет контакт с рельсом, поэтому сила реакции там равна нулю.

По второму закону Ньютона в верхней точке: \(mg = \frac{mv_{\text{в}}^2}{R}\), откуда \(v_{\text{в}}^2 = gR\).

Сохраним механическую энергию между стартом и верхней точкой петли, находящейся на высоте \(2R\) над нижней точкой: \(mgH = 2mgR + \frac{mv_{\text{в}}^2}{2}\).

Подставим \(v_{\text{в}}^2 = gR\): \(mgH = 2mgR + \frac{mgR}{2}\), следовательно, \(H = \frac{5R}{2}\).

В нижней точке из закона сохранения энергии: \(mgH = \frac{mv_{\text{н}}^2}{2}\), поэтому \(v_{\text{н}}^2 = 2gH = 5gR\).

Для движения по окружности в нижней точке: \(N - mg = \frac{mv_{\text{н}}^2}{R}\). Значит, \(N = mg + 5mg = 6mg\). Сила давления тела на рельс равна по модулю силе реакции рельса.

Ответ: \(H_{\min}=\frac{5R}{2}\); сила давления в нижней точке — \(6mg\).