1. Объясните, что такое касательная к окружности. 2. Постройте касательную к окружности. 3. Докажите, что касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания. 4. Через точку А, лежащую вне окружности, проведены две касательные. Докажите, что отрезки касательных от точки А до точек касания равны.

1. Определение касательной

Касательная к окружности — это прямая, которая имеет с окружностью только одну общую точку. Эта точка называется точкой касания.

2. Построение касательной

Чтобы построить касательную к окружности с центром O в точке B:

1. Проведите радиус OB.
2. Через точку B проведите прямую, перпендикулярную радиусу OB. Эта прямая и будет касательной.

3. Доказательство перпендикулярности

Пусть прямая a — касательная к окружности с центром O в точке B. Это означает, что точка B — единственная точка пересечения прямой a и окружности.

Предположим, что прямая a не перпендикулярна радиусу OB. Тогда существует другая точка C на прямой a, такая что OC < OB (где OC — кратчайшее расстояние от O до прямой a, а значит, OC ⊥ a).

Если OC < OB, то точка C находится внутри окружности, что противоречит определению касательной (прямая должна иметь только одну общую точку с окружностью).

Следовательно, наше предположение неверно, и прямая a должна быть перпендикулярна радиусу OB.

4. Доказательство равенства отрезков касательных

Пусть из точки A к окружности с центром O проведены две касательные, касающиеся окружности в точках B и C.

Рассмотрим треугольники ΔABO и ΔACO:

• OB = OC (радиусы окружности).
• AO — общая сторона для обоих треугольников.
• ∠ABO = ∠ACO = 90° (по свойству касательной, касательная перпендикулярна радиусу в точке касания).

По гипотенузе и катету (AO — гипотенуза, OB и OC — катеты), треугольники ΔABO и ΔACO равны.

Из равенства треугольников следует, что AB = AC.

Вывод: Отрезки касательных, проведённых из одной точки к окружности, равны.