1. Область определения функции, заданной графиком на рисунке 13, — промежуток [-3; 4]. Используя график, перечислите свойства функции. Найдите: 1) а) нули функции; б) промежутки, в которых функция принимает положительные значения, и промежутки, в которых функция принимает отрицательные значения; 2) промежутки, в которых функция возрастает и в которых она убывает; 3) значение аргумента х, при котором функция принимает наибольшее значение и при котором она принимает наименьшее значение; 4) область значений функции.

Решение:

1) а) Нули функции:

• Нули функции — это значения аргумента x, при которых значение функции y равно нулю. На графике это точки пересечения с осью Ox.
• На графике видно, что функция пересекает ось Ox в точках x = -2 и x = 2.

1) б) Промежутки знакопостоянства:

• Промежутки, где функция принимает положительные значения (y > 0): это участки графика, расположенные выше оси Ox.
• На графике это промежуток (-2; 2).
• Промежутки, где функция принимает отрицательные значения (y < 0): это участки графика, расположенные ниже оси Ox.
• На графике это промежутки [-3; -2) и (2; 4].

2) Промежутки возрастания и убывания:

• Промежутки возрастания (y увеличивается при увеличении x): на графике это промежуток, где кривая идет вверх.
• На графике это промежуток (-1; 4].
• Промежутки убывания (y уменьшается при увеличении x): на графике это промежуток, где кривая идет вниз.
• На графике это промежуток [-3; -1).

3) Наибольшее и наименьшее значения:

• Наибольшее значение функции: На графике видно, что максимальное значение y достигается в точке x = -1 и равно y = 3.
• Наименьшее значение функции: На графике видно, что минимальное значение y достигается в точке x = 4 и равно y = 0. (Важно: хотя функция приближается к 0 в точке x=4, из графика видно, что точка x=4 включена в область определения и значение функции в этой точке равно 0, что является наименьшим значением на данном промежутке).

4) Область значений функции:

• Область значений — это все возможные значения y, которые принимает функция.
• Исходя из графика, минимальное значение y = 0 (в точке x = 4) и максимальное значение y = 3 (в точке x = -1).
• Область значений функции: [0; 3].

Финальный ответ:

• а) Нули функции: x = -2 и x = 2.
• б) Промежутки положительных значений: (-2; 2). Промежутки отрицательных значений: [-3; -2) и (2; 4].
• 2) Промежуток возрастания: (-1; 4]. Промежуток убывания: [-3; -1).
• 3) Наибольшее значение (y = 3) достигается при x = -1. Наименьшее значение (y = 0) достигается при x = 4.
• 4) Область значений функции: [0; 3].