1. Образующая конуса равна 10см и составляет с плоскостью основания угол 30°. Найдите объём конуса.

Решение:

1. Найдем радиус основания конуса (r) и его высоту (h).

Образующая (l) = 10 см, угол между образующей и плоскостью основания \(\alpha = 30^{\circ}\).

В прямоугольном треугольнике, образованном образующей, радиусом и высотой:

• \( r = l \cdot \cos(\alpha) = 10 \cdot \cos(30^{\circ}) = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} \) см
• \( h = l \cdot \sin(\alpha) = 10 \cdot \sin(30^{\circ}) = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5 \) см

2. Найдем объём конуса по формуле \( V = \frac{1}{3}\pi r^2 h \).

• \( V = \frac{1}{3}\pi (5\sqrt{3})^2 \cdot 5 = \frac{1}{3}\pi (25 \cdot 3) \cdot 5 = \frac{1}{3}\pi \cdot 75 \cdot 5 = 25\pi \cdot 5 = 125\pi \) см³

Ответ: \( 125\pi \) см³.