1. Обязательно ли, что прямая b лежит в плоскости данного треугольника KLM, если она: 1) пересекает две стороны треугольника? 2) проходит через одну из вершин треугольника?

Нет. Прямая может пересекать две стороны треугольника, не лежа в его плоскости. Например, она может пересечь плоскость треугольника в точке, принадлежащей обеим сторонам — их общей вершине, — и при этом иметь направление, не лежащее в плоскости.

Нет. Прохождение прямой через вершину треугольника не означает, что вся прямая лежит в плоскости треугольника: через эту вершину можно провести прямую, не принадлежащую плоскости.