1. Один из углов, которые получаются при пересечении двух прямых, равен 30°. Чему равны остальные углы ? 2. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС и углом при вершине В, равным 36°, проведена биссектриса АК. Докажите, что треугольники СКА и АКВ равнобедренные.. 3. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведена медиана ВМ. На ней взята точка О. Докажите равенство треугольников АМО и СМО.

Задание 1. Углы при пересечении двух прямых

Когда две прямые пересекаются, образуются четыре угла. Вертикальные углы равны между собой, а смежные углы в сумме дают 180°.

Дано:

• Один из углов равен 30°.

Найти: остальные углы.

Решение:

1. Пусть один из углов равен 30°.
2. Вертикальный ему угол тоже равен 30°.
3. Смежный с ним угол равен 180° - 30° = 150°.
4. Угол, вертикальный этому последнему, тоже равен 150°.

Ответ: 30°, 150°, 150°.

Задание 2. Равнобедренный треугольник и биссектриса

Дано:

• Треугольник АВС — равнобедренный с основанием АС.
• Угол при вершине В равен 36°.
• АК — биссектриса.

Доказать: треугольники СКА и АКВ — равнобедренные.

Доказательство:

1. Так как треугольник АВС равнобедренный с основанием АС, то углы при основании равны: \( ∠ BAC = ∠ BCA \).
2. Сумма углов треугольника равна 180°, поэтому \( ∠ BAC = ∠ BCA = (180^\circ - ∠ B) / 2 = (180^\circ - 36^\circ) / 2 = 144^\circ / 2 = 72^\circ \).
3. АК — биссектриса угла А, значит, она делит угол \( ∠ BAC \) пополам: \( ∠ BAK = ∠ KAC = ∠ BAC / 2 = 72^\circ / 2 = 36^\circ \).
4. Рассмотрим треугольник АКВ: \( ∠ B = 36^\circ \) и \( ∠ BAK = 36^\circ \). Так как \( ∠ B = ∠ BAK \), то треугольник АКВ равнобедренный с основанием ВК.
5. Рассмотрим треугольник СКА: \( ∠ KAC = 36^\circ \) и \( ∠ C = 72^\circ \). Угол \( ∠ AKC \) внешний для треугольника АКВ, поэтому \( ∠ AKC = ∠ B + ∠ BAK = 36^\circ + 36^\circ = 72^\circ \).
6. Так как \( ∠ KAC = 36^\circ \) и \( ∠ C = 72^\circ \) и \( ∠ AKC = 72^\circ \), то \( ∠ C = ∠ AKC \). Следовательно, треугольник СКА равнобедренный с основанием АК.

Что и требовалось доказать.

Задание 3. Равнобедренный треугольник, медиана и точка

Дано:

• Треугольник АВС — равнобедренный с основанием АС.
• ВМ — медиана.
• Точка О лежит на ВМ.

Доказать: равенство треугольников АМО и СМО.

Доказательство:

1. Так как треугольник АВС равнобедренный с основанием АС и ВМ — медиана, то ВМ является также высотой и биссектрисой. Следовательно, \( ∠ BMA = ∠ BMC = 90^\circ \) и \( AM = MC \).
2. Рассмотрим треугольники АМО и СМО:
• \( AM = MC \) (так как ВМ — медиана в равнобедренном треугольнике).
• \( ∠ AMO = ∠ CMO = 90^\circ \) (так как ВМ — высота).
• \( OM \) — общая сторона для обоих треугольников.
3. По двум катетам (признак равенства прямоугольных треугольников), треугольники АМО и СМО равны.

Что и требовалось доказать.