1. Один из углов прямоугольного треугольника равен 61 градус. Найдите второй острый угол. 2. Острые углы прямоугольного треугольника относятся как 2:3. Найдите эти углы. 3. Дано: треугольник АВС- прямоугольный, угол АСК-внешний при вершине С равный 150 градусов, АС=12см Найти: АВ-? 4. Даны два прямоугольных треугольника ДАВС, ДADC (рис1). АС - биссектриса угла BAD, <ВАС = 35°.а) Доказать: ДАВС = AADC. Б)Найти <BCD.

Задание 1. Прямоугольный треугольник

В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90 градусов. Если один острый угол равен 61 градусу, то второй острый угол равен:

\[ 90^\circ - 61^\circ = 29^\circ \]

Ответ: 29 градусов.

Задание 2. Острые углы прямоугольного треугольника

Пусть острые углы прямоугольного треугольника равны \( 2x \) и \( 3x \). Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90 градусов:

\[ 2x + 3x = 90^\circ \]

\[ 5x = 90^\circ \]

\[ x = \frac{90^\circ}{5} = 18^\circ \]

Тогда углы равны:

\[ 2x = 2 \cdot 18^\circ = 36^\circ \]

\[ 3x = 3 \cdot 18^\circ = 54^\circ \]

Ответ: 36 градусов и 54 градуса.

Задание 3. Прямоугольный треугольник АВС

Дано:

• Треугольник АВС - прямоугольный.
• Угол АСК (внешний угол при вершине С) = 150 градусов.
• АС = 12 см.

Найти: АВ.

Решение:

1. Найдем внутренний угол ВСА. Угол ВСА и внешний угол АСК - смежные, их сумма равна 180 градусов:

\[ \angle BCA = 180^\circ - \angle ASK = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ \]

Теперь у нас есть прямоугольный треугольник АВС, где угол С = 30 градусов. В прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы.

В нашем случае катет АС лежит напротив угла 30 градусов (угол В = 90, угол С = 30, значит угол А = 60).

\[ AC = \frac{1}{2} AB \]

Выразим гипотенузу АВ:

\[ AB = 2 \cdot AC \]

\[ AB = 2 \cdot 12 \text{ см} = 24 \text{ см} \]

Ответ: 24 см.

Задание 4. Два прямоугольных треугольника

Дано:

• Треугольники АВС и ADC прямоугольные.
• АС - биссектриса угла BAD.
• \( \angle BAC = 35^\circ \).

а) Доказать: \( \triangle ABC = \triangle ADC \).

Доказательство:

1. Так как АС - биссектриса угла BAD, то \( \angle BAC = \angle CAD = 35^\circ \).
2. Рассмотрим треугольники ABC и ADC:
• Сторона AC - общая для обоих треугольников.
• Углы \( \angle BAC = \angle CAD = 35^\circ \) (по условию, так как AC - биссектриса).
• Углы \( \angle ABC = \angle ADC = 90^\circ \) (по условию, треугольники прямоугольные).
3. По признаку равенства треугольников по стороне и двум прилежащим углам (второй признак равенства треугольников), \( \triangle ABC = \triangle ADC \).

б) Найти: \( \angle BCD \).

Решение:

1. Из равенства треугольников \( \triangle ABC = \triangle ADC \) следует, что соответствующие углы равны. Значит, \( \angle BCA = \angle DCA \).
2. Сумма всех углов в треугольнике равна 180 градусов. В прямоугольном треугольнике ABC:

\[ \angle BCA = 180^\circ - 90^\circ - \angle BAC = 180^\circ - 90^\circ - 35^\circ = 55^\circ \]

Так как \( \angle BCA = \angle DCA \), то \( \angle DCA = 55^\circ \).

Угол \( \angle BCD \) состоит из двух углов: \( \angle BCA \) и \( \angle DCA \).

\[ \angle BCD = \angle BCA + \angle DCA = 55^\circ + 55^\circ = 110^\circ \]

Ответ: а) Доказано. б) 110 градусов.