№1 Около прямоугольного треугольника ABC описана окружность. Найдите её радиус, если BC = 8 см, а ∠A = 30°.

Привет! Давай разберемся с этой задачей по геометрии. Кажется, что-то сложное, но на самом деле всё проще, чем ты думаешь!

Дано:

• Прямоугольный треугольник ABC.
• Описана окружность.
• Сторона BC = 8 см.
• Угол ∠A = 30°.

Найти:

• Радиус описанной окружности (R).

Решение:

1. Ключевой факт: В прямоугольном треугольнике гипотенуза является диаметром описанной окружности. То есть, AC - это гипотенуза, и 2R = AC.
2. Используем теорему синусов (или просто свойства прямоугольного треугольника): В прямоугольном треугольнике напротив угла в 30° лежит катет, равный половине гипотенузы.
3. В нашем случае, угол B равен 90° (так как треугольник прямоугольный). У нас есть угол A = 30°. Значит, катет, лежащий напротив этого угла, — это BC.
4. По теореме синусов:

• \[ \frac{BC}{\sin A} = 2R \]
• Подставляем известные значения:
• \[ \frac{8 \text{ см}}{\sin 30°} = 2R \]
• Мы знаем, что sin 30° = 1/2.
• \[ \frac{8 \text{ см}}{1/2} = 2R \]
• \[ 8 \text{ см} \times 2 = 2R \]
• \[ 16 \text{ см} = 2R \]
• Теперь найдем радиус R:
• \[ R = \frac{16 \text{ см}}{2} \]
• \[ R = 8 \text{ см} \]

Ответ: Радиус описанной окружности равен 8 см.