1. Окружность. Элементы окружности. 2. Параллелограмм. Признаки параллелограмма (доказательство одного из них). 3. Задача.

1. Окружность. Элементы окружности.

Окружность — это множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой центром окружности.

Элементы окружности:

• Центр окружности — точка, равноудаленная от всех точек окружности.
• Радиус окружности — отрезóк, соединяющий центр окружности с любой ее точкой. Длина радиуса обозначается буквой R.
• Диаметр окружности — отрезок, соединяющий две точки окружности и проходящий через ее центр. Длина диаметра обозначается буквой D. Диаметр равен двум радиусам: \( D = 2R \).
• Хорда — отрезок, соединяющий две точки окружности.

2. Параллелограмм. Признаки параллелограмма.

Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Признаки параллелограмма:

1. Если у четырехугольника противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
2. Если у четырехугольника противоположные углы попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
3. Если у четырехугольника диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Доказательство признака №1:

Дано: четырехугольник ABCD, \( AB = CD \), \( BC = DA \).

Доказать: ABCD — параллелограмм.

Доказательство:

1. Проведем диагональ AC.
2. Рассмотрим \( \triangle ABC \) и \( \triangle CDA \).
3. Стороны \( AB = CD \) и \( BC = DA \) по условию.
4. Сторона \( AC \) — общая.
5. Следовательно, \( \triangle ABC = \triangle CDA \) по трем сторонам (III признак равенства треугольников).
6. Из равенства треугольников следует, что \( \angle BAC = \angle DCA \). Так как эти углы являются накрест лежащими при прямых AB и CD и секущей AC, то \( AB Ⅰ CD \).
7. Также из равенства треугольников следует, что \( \angle BCA = \angle DAC \). Так как эти углы являются накрест лежащими при прямых BC и DA и секущей AC, то \( BC Ⅰ DA \).
8. По определению, четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, является параллелограммом.
9. Следовательно, ABCD — параллелограмм.

3. Задача.

Задача: В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке O. Известно, что \( \angle AOB = 30^  \circ \) и \( AO = 6 \) см, \( BO = 4 \) см. Найдите длину диагонали BD.

Решение:

По условию, ABCD — параллелограмм. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. Следовательно:

• \( CO = AO = 6 \) см
• \( DO = BO = 4 \) см

Диагональ AC = \( AO + CO = 6 + 6 = 12 \) см.

Диагональ BD = \( BO + DO = 4 + 4 = 8 \) см.

Угол \( \angle AOB = 30^  \circ \).

Из того, что \( AO = CO = 6 \) и \( BO = DO = 4 \), мы уже нашли длину диагонали BD.

Ответ: Длина диагонали BD равна 8 см.