№1. Окружность с центром О описана около равнобедренного треугольника АВС (АВ = BC), ∠BAC = 28°. Найдите острый угол ∠AOC.

Краткая запись:

• Треугольник АВС — равнобедренный (АВ = BC).
• Окружность с центром О описана около треугольника АВС.
• ∠BAC = 28°.
• Найти: ∠AOC.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: В равнобедренном треугольнике АВС углы при основании равны, следовательно, ∠BAC = ∠BCA = 28°.
2. Шаг 2: Сумма углов в треугольнике равна 180°. Найдем угол ∠ABC:
   ∠ABC = 180° - (∠BAC + ∠BCA) = 180° - (28° + 28°) = 180° - 56° = 124°.
3. Шаг 3: Центральный угол ∠AOC в два раза больше вписанного угла ∠ABC, опирающегося на ту же дугу AC.
   ∠AOC = 2 * ∠ABC.
   Однако, ∠AOC является острым углом, а ∠ABC тупой. Окружность описана около треугольника, значит, вершины треугольника лежат на окружности. Угол ∠BAC = 28° опирается на дугу BC. Угол ∠BCA = 28° опирается на дугу AB. Угол ∠ABC = 124° опирается на дугу AC. Центральный угол ∠AOC опирается на дугу AC.
   Дуга AC = 2 * ∠ABC = 2 * 124° = 248°.
   Угол ∠AOC — центральный угол, опирающийся на дугу AC.
   Так как угол ∠AOC острый, то он опирается на меньшую дугу AC.
   Угол ∠ABC = 124°, это тупой угол. Центральный угол, опирающийся на ту же дугу, должен быть больше 180°.
   Необходимо найти острый угол ∠AOC. Центральный угол, опирающийся на ту же дугу, что и вписанный угол ∠ABC, равен 2 * ∠ABC = 2 * 124° = 248°.
   Но нам нужен острый угол ∠AOC, который является смежным к углу 248° (если рассмотреть полный оборот 360°).
   Острый угол ∠AOC = 360° - 248° = 112°.
   Другой вариант: ∠BAC = 28°, значит, дуга BC = 2 * 28° = 56°. ∠BCA = 28°, значит, дуга AB = 2 * 28° = 56°.
   Сумма дуг AB + BC + AC = 360°.
   56° + 56° + дуга AC = 360°.
   Дуга AC = 360° - 112° = 248°.
   Центральный угол ∠AOC, опирающийся на дугу ABC, равен 248°.
   Нас просят найти острый угол ∠AOC. В геометрии, когда говорят об угле между двумя лучами (в данном случае OA и OC), обычно подразумевают наименьший угол между ними.
   Следовательно, острый угол ∠AOC = 360° - 248° = 112°.
   Проверим: ∠BAC = 28°, это вписанный угол, опирающийся на дугу BC. Центральный угол, опирающийся на ту же дугу, это ∠BOC. ∠BOC = 2 * ∠BAC = 2 * 28° = 56°.
   ∠BCA = 28°, это вписанный угол, опирающийся на дугу AB. Центральный угол, опирающийся на ту же дугу, это ∠AOB. ∠AOB = 2 * ∠BCA = 2 * 28° = 56°.
   Угол ∠AOC = ∠AOB + ∠BOC = 56° + 56° = 112°.

Ответ: 112°