1. Окружность, вписанная в треугольник и ее центр. Окружность, описанная около треугольника и ее центр. 2. Теорема о площади треугольника (формулировка и доказательство). Следствия из теоремы о площади треугольника 3. Перпендикуляр, проведенный из вершины прямоугольника к его диагонали, делит её отрезки, равные 2 см и 8 см. Найдите площадь прямоугольника

Решение:

1. Окружность, вписанная в треугольник и ее центр.
Вписанная окружность — это окружность, которая касается всех сторон треугольника. Центр вписанной окружности (центр вписанной окружности) является точкой пересечения биссектрис углов треугольника.

Окружность, описанная около треугольника и ее центр.
Описанная окружность — это окружность, которая проходит через все вершины треугольника. Центр описанной окружности (центр описанной окружности) является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

2. Теорема о площади треугольника (формулировка и доказательство). Следствия из теоремы о площади треугольника
Формулировка: Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту, проведенную к этому основанию.
Доказательство:
Пусть дан треугольник ABC, основание AC, высота BH.
Можно достроить треугольник ABC до параллелограмма ABDC. Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту: \( S_{ABDC} = AC · BH \).
Площадь треугольника ABC составляет половину площади параллелограмма ABDC, так как диагональ BC делит его на два равных треугольника: \( S_{ABC} = \frac{1}{2} S_{ABDC} \).
Следовательно, \( S_{ABC} = \frac{1}{2} AC · BH \>.
Следствия:
1. Площадь треугольника равна половине произведения двух сторон на синус угла между ними: \( S = \frac{1}{2} ab · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · \).
2. Площадь треугольника по формуле Герона: \( S = · · · · · · \), где \( a, b, c \) — стороны треугольника, а \( p = · · · · \) — полупериметр.

3. Перпендикуляр, проведенный из вершины прямоугольника к его диагонали, делит её отрезки, равные 2 см и 8 см. Найдите площадь прямоугольника

Дано:
Прямоугольник ABCD.
Диагональ AC.
Из вершины B проведен перпендикуляр BK к диагонали AC. BK = h.
Отрезки диагонали: AK = 2 см, KC = 8 см.

Найти:
Площадь прямоугольника S.

Решение:
Диагональ AC = AK + KC = 2 + 8 = 10 см.

В прямоугольном треугольнике ABC, проведен перпендикуляр BK к гипотенузе AC. По свойству высоты прямоугольного треугольника, проведенной из вершины прямого угла к гипотенузе, квадрат высоты равен произведению отрезков, на которые она делит гипотенузу:

\[ BK^2 = AK · KC \]
\[ h^2 = 2 · 8 = 16 \]
\[ h = · · · · · \]

Так как BK — это высота, проведенная из вершины B к диагонали AC, то BK является высотой треугольника ABC. Площадь треугольника ABC равна:

\[ S_{ABC} = · · · · · \]

Площадь прямоугольника ABCD равна удвоенной площади треугольника ABC:

\[ S_{ABCD} = 2 · S_{ABC} \]
\[ S_{ABCD} = 2 · · · · · \]

Альтернативное решение:
Рассмотрим треугольники ABK и CBK. Они подобны треугольнику ABC и друг другу.

Из подобия треугольников ABK и CBK следует:

\[ · · · · · · · · · · \]

Используя подобие треугольников ABK и ABC, получаем:

\[ · · · · · · · · · · \]

Следовательно, одна сторона прямоугольника равна 4 см, а другая — 10 см.

Площадь прямоугольника:

\[ S = 4 · 10 = 40 \text{ см}^2 \]

Ответ: 40 см².