1. Определение и свойство вертикальных углов. 2. Второй признак параллельности двух прямых. Доказательство. 3. Один из внешних углов равнобедренного треугольника равен 110°. Найдите все углы данного треугольника.

Решение:

• Определение вертикальных углов: Два угла называются вертикальными, если их стороны являются продолжениями друг друга.
• Свойство вертикальных углов: Вертикальные углы равны.
• Второй признак параллельности двух прямых: Если при пересечении двух прямых третьей (секущей) образуются соответственные углы, то прямые параллельны. Доказательство: Пусть при пересечении прямых a и b секущей c образовались равные соответственные углы. Накрест лежащий угол, смежный с одним из соответственных углов, будет равен другому соответственному углу. Так как сумма смежных углов равна 180°, то равенство соответственных углов приводит к равенству накрест лежащих углов, что является признаком параллельности прямых.
• Задача: Внешний угол равнобедренного треугольника равен 110°. Внешний угол смежен с внутренним углом треугольника. Сумма смежных углов равна 180°. Следовательно, внутренний угол, смежный с внешним, равен 180° - 110° = 70°. Так как треугольник равнобедренный, у него есть два равных угла (углы при основании). Либо этот угол 70° является углом при основании, либо углом при вершине.
• Случай 1: Угол 70° — угол при основании. Тогда второй угол при основании также равен 70°. Сумма углов в треугольнике равна 180°. Третий угол (угол при вершине) равен 180° - 70° - 70° = 40°.
• Случай 2: Угол 70° — угол при вершине. Тогда два угла при основании равны (180° - 70°) / 2 = 110° / 2 = 55°.

Ответ: Углы треугольника могут быть 70°, 70°, 40° или 55°, 55°, 70°.